注重细致分析 激活思维创新

齐欣　刘继征

摘 要：数学问题中分析是解决问题的前提，问题的解决源自周密细致的分析，从问题的条件、结论中提取有用的信息.本文以七年级期末数学测试中的一道试题为例，通过“一题多解、一题多变、解后反思、探寻本质”等有效手段，教会学生思考，启发数学思考，有效克服思维定势，推进培养创新意识落到实处.

关键词：一题多解;学会思考;数形结合

1 试题呈现

题目 如图1，已知AC//ED，ED//GF，∠BDF=90°.

（1）若∠ABD=150°，求∠GFD的度数;

（2）若∠ABD=θ度，求∠GFD-∠CBD的度数.

试题考查学生的数学基础知识、基本技能，注重数学活动经验的积累和数学思想方法的渗透.对于第（1）问，根据平行线的性质可得∠ABD+∠BDE=180°，同理∠F+∠EDF=180°.根据∠ABD=150°，进而可得∠BDE=30°，然后由∠BDF=90°计算出∠EDF的度数，进而可得∠GFD的度数;对于第（2）问，大部分学生都能类比第（1）问的思路，用θ分别表示∠F，∠CBD，毫无疑问也抑制了一部分同学的思维.为使每个学生都受到良好的数学教育，激活数学思维，教会学生思考，还应揭示知识的数学实质及体现的数学思想，进而对第（2）问的解法做进一步的分析.

2 解法展示

2.1 以数解形，各个击破

思路1 利用第（1）问，可得∠BDE=180-θ（度），∠EDF=90-（180-θ）=θ-90（度），从而∠F=180-（θ-90）=270-θ（度），而∠CBD=180-θ（度），所以∠F-∠CBD=（270-θ）-（180-θ）=90（度）.类比第（1）问，充分发挥第（1）问的“脚手架”作用.

2.2 另起炉灶，活学活用

思路2 ∠F，∠CBD分别是∠EDF的补角、余角，联想到一个角的补角比它的余角大90°，利用这一结论问题可解.

2.3 以形助数，多思少算

思路3 如图2，延长FD交AC于点H，则由∠BDF=90°，得∠BDH=180°-∠BDF=90°.由AB//DE，DE//FG，得AB//FG.所以∠F=∠CHD.而∠CHD是△BDH的外角，于是将∠F与∠CBD的差转化为∠CHD-∠CBD.利用三角形外角的性质，问题可整体求解，以形助数，避开了繁杂的运算.

2.4 转换视角，以退为进

我们知道，数学要注重知识的生长点与延伸点，数学解题要善于退，学会以退为进，学会转换视角分析，引导学生从不同层次理解.从不同角度欣赏、完善，形成解决一类问题的通性通法.仔细观察图形，可以发现∠GFD-∠CBD=（∠GFD+∠ABD）-（∠CBD+∠ABD）= ∠GFD+∠ABD-180°，因此可以將问题转化为求∠GFD+∠ABD来解决.

思路4∠GFD+∠ABD=（∠GFD+∠EDF）+（∠BDE+∠ABD）-90°=180°+180°-90°=270°.

思路5 如图3，连接BF，∠GFD+∠ABD=（∠ABF+∠BFG）+（∠DBF+∠BFD）=180°+90°=270°.

2.5 排除干扰，彰显直观

借助几何直观可以把复杂的几何问题变得简明、形象，有助于解决问题的思路探索.

思路6 如图4，延长BD交射线FG的反向延长线于点M，过点F作FN//MB.

评注 几何直观可以帮助我们更好地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.

在数学教学中要充分发挥课本中习题引领导向的作用、举一反三的作用、联系拓广作用和层次练习的作用.

3 变式跟进

变式1 如图5，已知AB//CE，CE//DF，∠BCD=90°，求∠D-∠B的度数.

变式2 如图6，已知AB//CD，BE⊥DE，探究∠B，∠E，∠D之间的数量关系，并说明理由.

评注 归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法.

4 后续思考

通过一题多解体会解法的多样性，无疑是提升数学素养的重要机制.好的数学教学就是要引导学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的方法欣赏世界，用数学的思维理解世界，用数学的语言表达世界.这道试题改编自课本习题，在解题思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力上具有示范性和启发性，要提高学生重视课本和钻研课本的自觉性、主动性和积极性，也要教会学生思考，数学教育要以培养思考能力为核心，加强学生思维能力的培养.

在数学教学中，教师要有通过细致地分析让学生形成运用多种方式进行数学思考的习惯与意识;要有强烈的教会学生运用数学进行思考的教学愿望[1].总之，在义务教育阶段，要通过数学课堂教学与解题实践，让学生打下良好的基础，使发展创新思维能力贯彻始终.

参考文献：

[1]齐欣.数学教学要强化培养学生的创新意识[J].中国教育学刊，2018（06）：106.

（收稿日期：2019-06-25）