有关三角形面积问题的探索

张继德

摘 要：求三角形面积以及利用三角形面积解决初中数学问题，是初中生数学学习中的一项技能.运用得好能事半功倍.本文探讨了求三角形面积的方法，以及如何解决初中数学中有关三角形问题.

关键词：三角形; 面积;问题

在平面几何中，多边形的面积都可以转化成若干个三角形面积的和与差.因此，研究多边形的面积，必须研究三角形的面积.在小学数学求三角形面积的基础上，初中数学对三角形面积进行了拓展和延伸，增加了一些方法，多了一些应用.

1 运用公式解决三角形面积的有关问题

三角形的面积公式是S=12ah，a是三角形的一边，h是这边上的高.初中数学中，直接求三角形的面积已经没有思维价值.更多的是已知面积和底，求高;或者已知面积和高，求底.

例1 一次函数y=2x+b与两条坐标轴围成的三角形的面积是9，求b的值.

分析 解決这个问题，先求出一次函数与两坐标轴的交点坐标（0，b），（-12b，0），利用三角形面积公式列出方程，12 ·|-12b |·|b|=9，解得b=±6.

2 巧用数学技能解决三角形面积的有关问题

2.1 利用三角形中线

三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，利用这一结论可以解决一些有关三角形面积的问题.

例2 如图1，已知AD，BE是△ABC的中线，且AD与BE交于点G，四边形CDGE的面积是7cm2，求△ABC的面积.

分析 初看上去，四边形CDGE与△ABC好像没有什么关系，但仔细分析会发现：正是通过中线把它们的面积联系起来.

如图2，连接GC，四边形CDGE被分成了两个三角形：△CDG，△CEG.由于点D，E分别是线段BC，AC的中点，所以S△BDG=S△CDG， S△AEG = S△CEG.可以求出S△BDG+ S△AEG =S△CDG+ S△CEG= S四边形CDGE=7cm2，再利用S△ABG+ S△AEG =S四边形CDGE+ S△AEG=12S△ABC，可以求出S△ABG=S四边形CDGE=7cm2.至此，可求出△ABC的面积是21cm2.

2.2 利用平行线

等底等高的三角形面积相等，利用平行线构造一个与原三角形面积相等的三角形，从而使问题得以解决.

例3 如图3，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的C，D两点都在x轴上.BD的延长线交y轴于点E，反比例函数y=kx经过点A，△CDE的面积是5，求k的值.

分析 反比例函数中的k，其几何意义是：过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，两条垂线及坐标轴围成的矩形面积就是|k|;若过反比例函数图象上任一点只作一条坐标轴的垂线，连接原点和该点，所围成的三角形面积是12|k|.

本题中，若连接OB，OA，则根据等底等高的三角形面积相等，有S△OBC=S△EBC，S△ODA=S△ODB.所以S△OBC-S△DBC=S△EBC-S△DBC.即S△ODB=S△CDE=5.所以S△ODA =5.从而得到k=10.

2.3 利用割补法

割补法是求三角形面积常用的方法，特别是在网格图和由网格图引申的平面直角坐标系中.用一个较大的长方形去覆盖整个三角形，求出该长方形的面积，减去长方形以内三角形以外的部分，就可以求出三角形的面积.这种方法也适用于求其他多边形的面积.

还可以利用平移、旋转、相似等图形的变换解决三角形面积的有关问题.

例4 如图5，抛物线C1∶y=12x2经过平移得到抛物线C2∶y=12x2+2x，抛物线C2的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是.

分析 这是一个不规则图形.如图6，连接OA，将线段OA与抛物线围成的封闭图形“割下”，旋转一下，补到OB的位置，则原不规则的图形的面积与△OBC的面积是相等的.本题中先根据C2的解析式求出其对称轴x=-2，求出点A，B的坐标为（-2，-2），（-2，2）.从而求出阴影部分面积=S△OAB=4.

3 在动态几何中求三角形面积

动态几何中，三角形的面积实际是自变量的函数.解决这类问题，应进行分类讨论.

例5 如图7，等腰Rt△ABC和正方形DEFG都在直线MN上，且点C与点G重合，AB=DE=10cm.△ABC以2cm/s的速度向右移动，直到AB与EF重合为止.设运动时间为x，△ABC与正方形DEFG重合部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式.

分析 如图8和9，分两种情况进行讨论：AB与DG重合前（含重合），即0≤x≤5;AB与DG重合后至结束，即5

第一种情况下，重叠部分是等腰Rt△CGH，其中CG=HG=2x，因此y=2x2;

第二种情况下，重叠部分是梯形ABFK，其中AB=10，KF=CF=2x-10， y=50-12（2x-10）2.

综上所述，y=2x-10，0≤x≤5，50-12（2x-10）2，5

4 在函数中求三角形面积的最大值

三角形的底一定时，高越大面积越大;三角形的高一定时，底越大面积越大.三角形的底和高都不确定，只存在一种函数关系，那么就要用函数解决.解决这类问题，通常用二次函数的最大（或小）值来考虑.

例6 如图10，对称轴为直线x=12的抛物线经过B（2，0），C（0，4）两点，点P为第一象限内抛物线上的一点，设△CBP的面积为S，求S的最大值.

分析 根据已知条件，可得抛物线的解析式为y=-2x2+2x+4;直线BC的解析式为y=-2x+4.

点P是动点，所以△CBP的面积是关于点P横坐标的函数.如图11作PD⊥x轴，交BC于点Q，则S=

S△CBP=S△CQP+S△QBP=12PQ·OD+12PQ·DB=12PQ·OB=PQ.

可见，求S的最大值就等于求PQ的最大值.设点P的横坐标为t，则点P坐标为（t，-2t2+2t+4），点Q坐标为（t，-2t+4）.PQ=（-2t2+2t+4）-（-2t+4）=-2t2+4t.根据二次函数的性质，求出PQ的最大值为2.因此S的最大值也为2.

（收稿日期：2019-08-30）