巧建坐标系 妙用解析法

安国钗　张正华

摘 要：某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决.本文从过定点问题、立方体展开图、网格问题、方程不等式、程序框图等几个方面，分类例举如何巧建坐标系，有效地运用解析法，为解题提供新的途径.

关键词：解题教学;坐标系;解析法

函数是初中数学的核心内容，也是抽象、模型、对应思想的主要载体，是高中数学函数内容的基础.函数也是数与形的自然载体，函数解析式有着代数的属性，函数图象和性质又有着几何属性，在平面直角坐标系中能实现数与形的完美结合.在数学解题教学中，某些非函数问题通过建立平面直角坐标系，巧妙运用解析法可以得到有效的解决，在平时数学中值得关注.

1 几何问题

1.1 过定点问题

例1 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=6，D是斜边AB的中点，过点D分别作BC，AC的垂线，垂足分别为点E，F，点G是线段AD上一点，连结EG交线段DF于点P，且DP=1.

（1）求证：点G在以DF为直径的圆上;

（2）若以DF为直径的圆与线段GE相交于另一点M，求证：点M在线段BF上.

小州同学思考了几分钟后，有了这样的思路：以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，把点G看成是直线EP与AB的交点.请根据小州同学的思路，完成这道题目.

解析 （1）如图2，以点F为原点，AC所在的直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，易证四边形DFCE是矩形.

所以DE//AC，DF//BC.

因为D是AB的中点，

所以DE=DF=12×6=3.

由题意得，点D（0，3），B（3，6），E（3，3）.

因为PD=1，所以PF=2，所以P（0，2）.

设直线BD的解析式为y=kx+b，把B（3，6）和D（0，3）代入得3k+b=6，b=3，解得k=1，b=3.

所以直线BD∶y=x+3.

同理得直线PE：y=13x+2.

則y=x+3，y=13x+2.解得x=-32，y=32.

可得点G（-32，32）.

以DF为直径的圆的圆心Q坐标为（0，32），半径为32，所以QG=32.

所以点G在以DF为直径的圆上.

（2）如图3，易得直线BF∶y=2x，直线GE：y=13x+2，则y=2x，y=13x+2.解得x=65，y=125.

直线BF与直线GE的交点K的坐标为（65，125），交点K到圆心的距离为32，即点K在圆上.

又因为点K在直线GE上，所以点K就是点M，可得点M在线段BF上.

评注 第（1）题证明点G在圆上，只要证明点G到圆心的距离等于半径，若以点F为原点，AC所在直线为x轴，DF所在直线为y轴建立坐标系，那么很容易表示出点A，B，E，P的坐标，从而求出直线AB及EP的解析式，再进一步得出直线AB及EP的交点G的坐标.而以DF为直径的圆的圆心坐标和半径均易求，这样问题得解;第（2）题以DF为直径的圆的解析式到高中才学，因此我们可以另辟蹊径，证明EG与BF的交点即为点M，于是问题就转化为求直线GE和BF的解析式，得出其交点K的坐标，再证明点K在圆上，于是点K就是点M.第（1）小题不用解析法也可得证，但第（2）小题不用解析法显然有困难.本题是一个几何证明题，如果没有原题中的提示，解题思路很难形成，这就需要平时多加积累，获取经验，要证明直线过定点，往往可以建立合适的坐标系，求出点的坐标及直线解析式，验证点的坐标满足解析式即可，几何问题运用解析法，此题是比较典型的一例.

1.2 立方体展开图问题

例2 操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：

说明（如图4）：方案一：图形中的圆过点A，B，C;

方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点.

纸片利用率=纸片被利用的面积纸片的总面积×100%.

发现：（1）方案一中的点A，B恰好为该圆一直径的两个端点.你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由.

（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%.请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程.

探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三，如图5），请直接写出方案三的利用率.

解析 （2）如图6建立坐标系，可得E（2，3），F（4，2），得直线EF解折式为y=-12x+4.

所以A（0，4），B（8，0）.

即AC=4，BC=8，S△ABC=16.

所以该方案纸片利用率=616=37.5%.

（3）如图7建立坐标系，则直线AB经过（-2，0），（-1，2），其解折式为y=2x+4;直线AC经过（2，1），（0，2）， 其解折式为 y=-12x+2，直线BC经过（2，0），（0，-1），其解折式为 y=12x-1.

直线AB，AC，BC两两交于点A（-45，125），B（-103，-83），C（3，12）.

作矩形刚好覆盖△ABC，则S△ABC =S矩形-三个直角三角形的面积=36130，所以该方案纸片利用率=636130=49.9%.

评注 如果直接求直角三角形纸片的面积，需求两直角边长，纯粹用几何方法难度较大，特别是方案三，需添多条辅助线，反复利用相似三角形的判定与性质定理才能求出两直角边长.不妨换种思路，注意正方体展开图是六个小正方形，各内角均为直角，而且方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点，因此联想到若建立坐标系的话，可表示出小正方形各顶点坐标，从而各边所在直线的解析式也可求出，联立解析式组成方程组就可求得三角形各顶点坐标，再把三角形面积转化为矩形面积减去三个小直角三角面积，解起来可谓是水到渠成.立方体展开图实际上也可以把它看成特殊的网格图，依托直角建立平面直角坐标系，由点的坐标得出特定的横向、纵向线段长度，进一步求出各图形面积，充分体现数学知识间的联系，综合运用数形结合、化归思想、函数思想等.

1.3 网格问题

例3 如图8，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点.

（1）AE的长等于 ;

（2）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图8所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）.

解析 如图9，以点A为原点建立平面直角坐标系，则A（0，0），E（1，2），故直线AC解析式为y=2x;又点B（6，32），F（5，72），故直线BC解析式为 y=-2x +272.

由点P在AC上，点Q在BC上，可设P（m，2m），Q（n，-2n+272），则AP=m2+（2m）2=5m，BQ=（6-n）2+4（6-n）2=5（6-n），.

由AP=BQ，得5m=5（6-n）.

所以m+n=6.

又PQ2=（m-n）2+（2m+2n-272）2=（2m-6）2+94， 因为AP2=PQ2，所以5m2=（2m-6）2+94.解得m1=32，m2=-512（舍去）.

所以n=92，可得P（32，3），Q（92，92 ）.

所以点P是直线 y =3与AC的交点，点Q是直线 y=x与BC的交点.

评注 这是网格中的作图题，学生从对图形的直观感知可以知道点P，Q的大概位置，但若用无刻度的直尺找到点P，Q的准确位置，有较大的难度，如果纯粹用几何方法，基本图形不易构造，自然也就“疑无路”了.若借助于网格所提供的横纵线之间的关系，我们可以很方便地以点A为原点建立平面直角坐标系，这下“柳暗花明”了，直接求出直线AC和BC的解析式，设点P和点Q的坐标为未知数，根据AP=PQ=QB等量关系列出方程，从而确定点P，Q的坐标及其位置.网格问题中，由于网格自身的位置及数量的特殊性，使得图形中存在一些特殊关系，如果在网格中建立平面直角坐标系，进而可以使图形的一般几何性质得以特殊化和数量化，用解析法确定点的位置、直线的位置关系等等.

有些题目如果借助几何直观图形未能找到解题途径，不妨换个视角思考.以上几个题目利用几何图形的特殊性质（都含有直角）建立平面直角坐标系，用解析法都很顺畅地解决了.数学试题的设计常常会将几何问题结合平面直角坐标系融入数形结合思想，从数、形两方面合作研究几何问题.章建跃指出，“用几何图形表示数量关系，把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果，这是数学思维的变通、灵活性的表现，坐标法、函数与图象等都是数形结合的思维产物”，在解题教学过程中，我们不但要有扎实的双基，丰富的解题经验，而且还要有思维的灵活性和变通性.

在平时的教学中关注运用解析法解几何问题，在几何图形基础上建立直角坐标系后再思考会有意想不到的收获.

2 代数问题

2.1 方程不等式问题

例4 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”.请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m

A.m

C.m

解析 依题意，画出函数y=（x-a）（x-b）的图象，如图10所示.

函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a

方程1-（x-a）（x-b）=0转化为（x-a）（x-b）=1，方程的两根是抛物线y=（x-a）（x-b）与直线y=1的两个交点的横坐标.

由m

由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m

在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b

综上所述，可知m

评注 本题表面上是一个一元二次方程问题，但可以运用二次函数的知识，借助函数y=（x-a）（x-b）草图，根据二次函数的增减性，由函数图象直观形象地得出结论，避免了复杂的计算，以形解数，把数形结合思想发挥得淋漓尽致.本题关键还是在于构造二次函数，其图象与x轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程（x-a）（x-b）=0的解，而图象与直线y=1的交点横坐标就是题中方程的解.二次方程、不等式都与函数有密切的联系，我们可以充分运用数形结合的思想方法，恰当地构造二次函数，把问题转化为函数问题来处理，并且力求充分利用函数图象特征、数学方法，灵活调动知识技能，创立独特的优秀解法.

2.2 程序框图问题

例5 如图11，是一个运算流程.

（1）分别计算：当x=150时，输出值为，当x=27时，输出值为;

（2）若需要经过两次运算，才能运算出y，求x的取值范围;

（3）请给出一个x的值，使之无论运算多少次都不能输出，并请说明理由

解析 （1）直接计算得，当x=150时，输出值为449;当x=27时，经过三次运算，输出值为716.

（2）应该满足3x-1<365且 3（3x-1）-1≥365，第一个式子保证第一次不输出，第二个式子保证第二次的运算结果大于等于365，解得41≤x<122.

（3）x≤0.5即可.

评注 此题中程序框图是一个循环结构，当运算结果小于365时，程序会循环进入下一次运算，并且上一次的运算结果会自动成为下次的x的输入值，直至运算结果不小于365，才会输出.当然这个程序也有可能会进入“死循环”，即运算结果永远都会小于365，如当3x-1=x，即x=05时，总有y=0.5，这时程序无论运算多少次都不能输出.

对于第（3）小题，能否给出確切的x的范围，使之无论运算多少次都不能输出？我们可以用一种形象、具体的方法来求这个范围.

程序框圖的运算其实就是求代数式3x-1的值，对于x的每一个确定的值，3x-1都有唯一确定的值与之对应，因此可构造一次函数y=3x-1，建立坐标系，通过图象法来解决.如图12，先作出y=3x-1以及y=x的图象，它们的交点为P（0.5，0.5）.不妨记第n次的输入值为xn（n=1，2，3，…），相应的第n次运算结果为yn，即yn=3xn-1，运算直至yn≥365，程序停止运行，输出最终结果;或者yn<365，程序进入“死循环”，始终输不出结果.由图象知，当x=0.5时，总是有y=0.5;当x1>0.5时，yn会逐渐递增，直至yn≥365输出最终结果;当x1<0.5时，yn会逐渐递减，这样yn恒小于365，程序进入“死循环”，始终输不出结果.综上所述，当x≤0.5时，此程序无论运算多少次都不能输出.

利用函数图象解决此代数式问题，非常形象直观！正如章建跃所说，“代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点”.

函数是方程、不等式的一般化，方程、不等式可以看成是函数关系中的特例.函数可看成是一个动态的过程，而方程、不等式是其中一般变化过程或某个静态瞬间.函数是用运动的观点来研究数，是数之间对应的变化关系，式子的值随其所包含字母的值的变化而变化，函数正是这一变化关系的符号化表示.因此，构造函数解答有关代数式、方程及不等式的问题也是比较自然且有效的一种解法.

3 结束语

德国数学家大卫·希尔伯特认为，数学知识是一个不可分割的有机整体，它的生命力取决于各部分之间的联系.借助于数轴及平面直角系，数量关系可以通过图形得以直观，而图形关系可以通过数量关系得以精细刻画.正如我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”初中数学主要有四个模块，即代数、几何、函数、统计，图形与几何密不可分，而几何与代数又紧密相通，坐标就成了这三者之间沟通的桥梁.有些代数与几何题看似与函数不沾边，但如果能对函数的概念、图象及性质了然于胸，当积累了一定经验后，解析法也就自然生成.事实上，解析法也体现了《标准（2017年版）》中所说的数学学科核心素养的“三用”，坐标和图形本身即是数形结合，这是抽象思维，是用数学的眼光看世界;坐标系中的图形需通过逻辑推理、数学运算等发现和证明数学结论，是用数学的思维思考世界;而在一个变化过程中抽象出函数模型，建立相关知识之间的联系，是用数学的语言表达世界.因此，解析法的巧妙运用不但为解题提供了一种新的途径，而且对数学学科核心素养的提升也具有重要意义.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]段广猛.对一道程序框图题的解法探究——程序框图题下的“蛛网模型”[J] .中国数学教育，2016（23）：50-53.

[3]陈德前，王朝珍.利用典型考题 提高复习效率[J] .中国数学教育，2017（07）：12-16.

（收稿日期：2019-08-29）