2019年宿迁市中考数学第18题的解法与变式

马先龙

摘 要：本文给出一道中考数学填空压轴题的两种解法，并进行变式训练，旨在进一步理解数学问题的本质，培养思维的灵活性、广阔性和创造性，提升研究问题的思维能力.

关键词：中考题;解法;变式

2019年江苏省宿迁市中考数学第18题（填空压轴题）是一道匠心独运，以正方形和变化中的等边三角形为背景，考查线段最小值问题的一道综合题.本文给出此题的两种解法，并进行变式训练.

1 试题呈现

题目 （2019年江苏省宿迁市中考数学第18题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E为BC边上一点，且BE=1，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为.

2 试题解析

2.1 等线段代换法+垂线段法

解法1 如图1，以CE为边在正方形ABCD的内部作等边△CEH，连接FH.

因为△CEH是等边三角形，所以EH=EC=CH，∠HEC=60°.

因为△EFG是等边三角形，所以FE=GE=FG，∠FEG=60°.

所以∠FEG+∠GEH=∠HEC+∠GEH.

所以∠FEH=∠GEC.

在△FEH和△GEC中，FE=GE，∠FEH=∠GEC，EH=EC，

所以△FEH≌△GEC（SAS）.

所以HF=CG.

过点H作HM⊥AB于点M，根据“垂线段最短”，知HM就是HF的最小值，也就是CG的最小值.

过点H作HN⊥BC于点N，则∠HNB=∠B=∠HMB=90°.

所以四边形BMHN是矩形.

所以HM=BN.

在∠CEH中，因为EH=CH，HN⊥BC，

所以EN=12EC .

因为BC=4，BE=1，所以EC=3.

所以EN=32.

所以BN=BE+EN=52.

所以HM=52.

所以CG的最小值为52.

2.2 动点轨迹探究法+垂线段法

解法2 如图2，作△EFG的外接圆⊙O，设⊙O与AB相交于点H，连接EH，GH，则∠FHG=∠FEG=60°，∠EHG=∠EFG=60°.

所以∠BHE=180°-60°×2=60°.

所以H是定点，点G在直线HG上运动.

过点C作CP⊥MH于点P，根据“垂线段最短”，知CP就是CG的最小值.

延长GH，CB相交于点M， 则∠MHB=∠FHG=60°.

又∠HBM=90°，所以∠M=30°.

在Rt△BEH中，∠HBE=90°，∠BHE=60°，BE=1，所以BH=33，BM=1.

所以CM=BC+BM=4+1=5.

在Rt△CMP中，∠CPM=90°，∠M=30°，CM=5，所以CP=12CM=52 .

所以CG的最小值为52.

以上给出了两种常见的解法，可以有效地对不同思维能力水平的学生加以区分，选择适合自己的解法.

如图1，“等线段代换法+垂线段法”是先巧妙地构造与△EFG共顶点的等边△CEH之后，构造全等三角形，顺利得到△FEH≌△GEC，进而证得HF=CG，达到了等线段代换的目的.接下来，自然会想到通过作垂线段 ，利用“垂线段最短”求HF的最小值，从而得到CG的最小值.这种解法，对于熟悉特殊三角形、特殊四边形的性质，善于构图，善于运用全等三角形知识解题的同学，应是一种不错的选择.

如图2，“动点轨迹法+垂线段法”是先巧妙地构造△EFG的外接圆，盯住⊙O与正方形ABCD边AB的交点H，利用同弧所对的圆周角相等，得到∠FHG=∠EHG=60°，进而得到∠BHE=60°，之后，顺水推舟，推出点H是定点，断定点G一定在直线HG上运动.接下来，自然会想到通过作垂線段CP求CG的最小值.这种解法，对于熟悉特殊三角形、特殊四边形以及圆的性质，善于构图，善于探究动点轨迹解题的同学，应是一种不错的选择.

总之，这两种解法构图巧妙，技巧性强，对学生的思维提出了挑战.

3 试题变式

不失时机地进行变式训练，可以锻炼学生的数学思维[1]，进一步理解数学问题的本质，培养思维的灵活性和创造性，提升研究问题的思维能力，体验学习数学的快乐感和成功感.

变式1 如图3，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等腰Rt△EFG，其中GE=GF，∠EGF=90°，连接CG，则CG的最小值为.

解析 不妨选择“动点轨迹法+垂线段法”.如图3，连接AC，BD，设AC，BD相交于点O ，则CO⊥BD，CO=12AC.

因为正方形ABCD的边长为4，所以AC=4 2.

所以CO=2 2.

过点G作GM⊥BC于点M，作GN⊥AB于点N，则∠GNB=∠GNF=90°，∠GMB=90°.

又∠MBN=90°，所以∠MGN=360°-90°×3=90°.

所以∠EGM+∠NGE=90°.

又∠FGN+∠NGE=90°，所以∠FGN=∠EGM.

在△FGN和∠EGM中，∠FGN=∠EGM，∠GNF=∠GME=90°，GF=GE，

所以△FGN≌△EGM（AAS）.

所以GN=GM.

所以动点G在∠ABC的平分线BD上运动.

因为CO⊥BD，所以CG的最小值为CO.

所以CG的最小值为2 2.

变式2 如图4，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等腰Rt△EFG，其中EF=FG，∠EFG=90°，连接CG，则CG的最小值为.

解析 不妨选择“动点轨迹法+垂线段法”.如图4，过点G作GH⊥AB于点H，则∠GHF=90°.

所以∠FGH+∠HFG=90°.

又∠EFG=90°，所以∠EFB+∠HFG=90°.

所以∠FGH=∠EFB.

在△FGH和△EFB中，∠FGH=∠EFB，∠GHF=∠B=90°，GF=EF，

所以△FGH≌△EFB（AAS）.

所以HG=BF，HF=BE.

设当点F与点B重合时，点G与AB边上的点M重合，则MB=BE=1.

所以HF=BM.

所以HM=BF.

又HG=BF，所以HM=HG.

所以∠HMG=∠HGM.

又因为∠GHM=90°，所以∠HMG=∠HGM=45°.

延长MG与AD相交于点N，所以∠ANM=∠AMN=45°.

所以AN=AM=3.

所以点G在直线MN上运动.

过点C作CR⊥MN于点R，根据“垂线段最短”，知CR就是CG的最小值.

分别延长MN，CD相交于点P，则∠P=∠PND=45°，所以DP=DN=1.

在Rt△CPR中，∠CRP=90°，∠P=45°，CP=4+1=5，所以CR=22CP=5 22.

所以CG的最小值为5 22.

变式3 如图5，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，点F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作正方形EFHG，连接CG，则CG的最小值为.

解析 不妨选择“动点轨迹法+垂线段法”.如图5，过点G作GG′⊥BC于点G′，则∠GG′E=90°.

因为四边形EFHG是正方形，所以EG=FE，∠FEG=90°.

所以∠G′EG+∠FEB=90°.

又因为∠B=90°，所以∠FEB+∠BFE=90°.

所以∠G′EG=∠BFE.

在△GEG′和△EFB中，∠G′EG=∠BFE，∠GG′E=∠B=90°，EG=FE，

所以△GEG′≌△EFB（AAS）.

所以GG′=BE=1.

所以點G在与BC平行且与BC距离为1的直线MN上运动.设MN与CD相交于点P，则四边形GG′CP是矩形.

所以CP⊥MN，CP=1，根据“垂线段最短”，知CG的最小值为1.

通过这三种变式训练，可以进一步巩固用动点轨迹法求线段长的最小值，巩固直角三角形、等腰三角形、正方形的有关性质、判定，巩固全等三角形的判定和性质，培养探究动点轨迹的能力，感受建模、构造、化归等数学思想方法[2]的运用，解一题，会一类，通一片.

当然，此道中考题除了本文给出的两种解法之外，还可用旋转法+垂线段法、解析法、函数最值法等方法求解.此外，变式训练也不止这些，更多的解法和变式，留给读者.

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[2]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

（收稿日期：2019-09-06）