数形结合思想在高中数学解题中的应用分析

陈耀阳

【摘要】数形结合思想充分运用了数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言、知识关系借助形象直观的图形、位置进行转化，实现解题难度的降低、复杂问题的简化.本文从高中生视角出发，分析了数形结合的解题方法与解题思路，从集合问题、函数问题、几何问题等三个层面入手，探讨了数形结合思想在高中数学解题中的具体应用，以供参考.

【关键词】高中数学;数形结合;解题思路;因数变形;以形转数

在高中阶段的数学学习要求我们掌握数学方法与数学规律，树立数学思维模式，而数形结合便是将数学问题的条件与结论进行相互连接，在探讨题目中涵盖的代数意义的同时，也试图揭示其几何意义，从而将数量关系的代数数据与图像形象紧密结合，促使复杂的问题简单化，进一步帮助我们把握解题的脉络与方法，寻求不同知识之间的对应关系.

一、数形结合的解题方法与解题思路分析

（一）因数变形法

因数变形法又称由数变形法，当某些具有一定抽象难度的数量关系难以运用代数方法直接解决时，便可以尝试从数与形之间的对应关系入手进行把握，将数量问题以图形的方式进行转化，实现问题的具象化、简明化转变，通常可以运用平面几何、立体几何以及解析几何的知识进行推理与分析.其解题思路主要包含以下三点：其一，应当确保将题目进行充分解读，明确题目中涵盖的每一个要求，并判断该题目所要求得的结果;其二，应当将题目中的已知条件或所给出的结论进行详细分析，判断能否运用基本公式或表达式针对其进行类别的划分;其三，应尝试构造与所给条件相符的图形，并明确图形的性质，结合已知条件、所给要求进行目标的求解.

（二）以形转数法

以形转数法又称以形变数法，主要对复杂图形问题或定量图形问题进行解决，通过仔细观察把握图形特点，在分析已知条件的基础上深度查找隐含条件，将其转化为代数问题进行求解.其解题思路主要包含以下四点：其一，应当针对题目所给要求进行详细分析，明确所需求得的目标，再探寻题目的特点与性质;其二，进一步分析所给条件与解题目的，解析其中渗透出的几何意义;其三，尝试用代数式表示题目中所给的图形;其四，调动脑海中的知识储备，运用所学公式、定理进行结果计算.

（三）数形互换法

数形互换法将因数变形法和以形转数法进行了有机结合、相互转化，以实现复杂数学题目的解决.需要注意的是，我们在解题的过程中应当着重把握因数变形法的直观特性，也要把握以形转数法的严谨性，在解答题目时详细判断数与形之间的内在联系，深度探寻其中蕴含的隐性条件，从而进一步养成见形思数、见数变形的良好解题习惯与能力[1].

二、数形结合思想在高中数学解题中的具体应用

（一）应用于集合问题

集合问题在高中数学中属于基础问题，在此知识点中渗透数形结合思想，可以帮助我们在入门阶段便在脑海中形成一定的数学思维模式，以此来解决实际问题.以下题为例：已知某班级共有40人，其中15人报考A竞赛，30人报考B竞赛，求有多少人同时报考A，B两个竞赛.我们可以尝试运用数形结合思想解答此问题，先针对题目中所给的条件进行分析，提炼出“报考A竞赛的学生”并设置为A，设B={报考B竞赛的学生}，设同时报考A，B竞赛的学生人数为x人，进行绘制出该集合问题的文氏图，得出card（A∩B）=5，由此可判斷同时报考A，B竞赛的学生人数为5人.

（二）应用于函数问题

通常我们会在函数取值问题中存在一定的困惑，由于函数自身存在变量问题，且范围往往难以确定，对解答者的空间思维能力有着较为严格的要求，因此，我们可以运用数形结合思想将复杂问题转变为熟悉问题，调动知识储备进行问题的顺利解答.以下题为例，设方程lg（-x2+3x-a）=lg（3-x）在x∈（0，3）内存在唯一解，求实数a的取值范围.在解答此题时，我们可以尝试将该函数方程向一元二次方程转化，将此题转变为二次函数求解问题，即3-x>0，-x2+3x-a=3-x， 进而得出3-x>0，（x-2）2=1-a. 接下来运用数形结合思想，设曲线z1=（x-2）2且x∈（0，3），直线z2=1-a，并画出该二次函数的图像.经观察图像可以发现，应分两种情况进行讨论：① 当1-a=0时存在唯一解，a=1;② 当1≤1-a<4时存在唯一解，即-3

（三）应用于几何问题

数形结合思想同样适用于几何问题的解答，能够实现几何问题的数量化转变，借助数值的计算实现几何问题的简化.以下题为例，过椭圆的左焦点有一倾斜角为60°的直线与椭圆交于M，N两点，且|FM|=2|FN|，求该椭圆的离心率.我们应当先仔细观察椭圆的图像，进而建立方程组x2a2+y2b2=1，y=3（x+c）， 依据题目条件|FM|=2|FN|可以得出FP=NN′+13（MM′-BB′）=13（MM′+2NN′）=13MFe+2NFe.接下来，在Rt△NL′F中，依据题目已知条件∠NFL′=60°，可得出NF=2FL′，由此可得出FP=FL′+L′P=NFe+NF2，结合题目所给条件|FM|=2|FN|，最终求得e=23，即该椭圆的离心率为23.

三、结 论

总而言之，高中阶段学生的思维认知正由成长阶段向成熟阶段过渡，数形结合思想建立在高中生一定的学习与思考模式的基础上，力图将抽象的数学语言与具象的图形进行有机结合，推动几何问题与代数问题之间的相互转化，从而帮助我们更好地把握数学的规律、锻炼思维建构能力，促使解题效率得到显著提高.

【参考文献】

[1]陆一冰.试论数形结合思想在高中数学解题中的应用[J].中国培训，2016（22）：204.

[2]张艺璇.关于高中数学几何解题技巧之“数”“形”结合策略[J].亚太教育，2015（34）：73.