浅谈利用空间直线参数的几何意义求方程问题

张三华

【摘要】研究曲线或曲面的性质，通常是几何问题代数化，就是研究曲线或曲面方程的性质，因此，如何求曲线或曲面方程显得尤为重要.本文利用空间直线参数的几何意义求方程问题，方法简单，易于理解，计算量少.

【关键词】参数;几何意义;球面;平面

求方程问题，通常是找出动点坐标满足的条件，从而求出方程;也可以找出确定方程的点的坐标或待定参数，再写出方程.在求点的坐标或待定参数时，通常解三元或多元方程，甚至是二次方程，计算量大，容易出错.利用空间直线参数的几何意义求方程，在求点的坐标时，可以把三元方程转化为一元方程，把二次方程转化为一次方程来求解，这样计算量少，容易理解，不易出错.

一、利用空间直线参数的几何意义求球面方程

球面方程有标准式方程和一般式方程.求球面的标准式方程就是确定球面的球心和半径.在确定球心的坐标时，通常解三元一次方程或三元二次方程，计算量大，容易出错.利用空间直线参数的几何意义，在求点的坐标时，可以把三元方程转化为一元方程，把二次方程转化为一次方程来求解，这样大大减少了计算量.

例1 已知球面的半径为7，而且和平面3x+6y+2z+21=0相切，切点为P（1，1，-15），求球面方程.

解 过点P（1，1，-15）作已知平面的垂线，其方程为

x-13=y-16=z+152，

把此直线的方向向量v={3，6，2}化为单位向量

v°=37，67，27，直线方程为

x-137=y-167=z+1527，

由题意和空间直线参数的几何意义有，球心坐标满足：

x-137=y-167=z+1527=±7.

解之得球心为（4，7，-13），（-2，-5，-17），故所求的球面方程为

（x-4）2+（y-7）2+（z+13）2=49，（x+2）2+（y+5）2+（z+17）2=49.

二、利用空间直线参数的几何意义求平面方程

平面方程有点位式、截距式、点法式、法式和一般式.在求平面方程时根据已知条件选择不同形式求解.如果求平面的一般式方程，要解四元一次方程或四元二次方程.如果选择平面的点位式或点法式求其方程，就要确定一点的坐标，一般要解三元一次方程或三元二次方程.因此，选择利用空间直线参数的几何意义，解一元一次方程就可以确定该点的坐标，从而写出平面方程.

例2 已知平面π1：2x+6y-3z+10=0和点P（0，6，-1），求平面π2，使得点P到平面π1，π2的距离相等.

解 由已知有点P到平面π1的距离为7;过点P作平面π1的垂线，其方程为

x2=y-66=z+1-3，

把此直線的方向向量v={2，6，-3}化为单位向量

v°=27，67，-37，直线方程为

x27=y-667=z+1-37，

此直线与π1，π2的交点满足：

x27=y-667=z+1-37=±7，

解之得点P1（-2，0，2），P2（2，12，-4）;

经验证P1（-2，0，2）在π1上，所以点P2（2，12，-4）在π2上，因此，所求平面的点法式方程为

2（x-2）+6（y-12）-3（z+4）=0，

整理化简有

2x+6y-3z-88=0.

【参考文献】

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]吕林根.解析几何学习辅导书[M].北京：高等教育出版社，2006.