数形结合在高中数学解题中的应用

杨亮

【内容摘要】高中阶段，数学教学的内容深度和广度有了较大提升，这也给学生的学习造成了一定的困难，其主要表现就是解题效率较低，而为了更好地解决这一问题，数形结合思想的应用具有十分重要的意义。因此，本文将结合笔者实际的从教经验，谈一谈应该如何引导学生将数形结合思想应用于高中数学的解题过程中。

【关键词】数形结合  高中数学  解题方法

在高中数学教学中，数和形是贯穿于教学全过程的基本内容，所以在高中数学的解题中，数和形也是最基本的要素，在实际的应用中，这两者具有十分密切的联系，并且在一定的条件下可以实现相互的转化，而这种相互转化的关系就被成为数形结合。利用数形结合进行解题，可以使题目中比较复杂的信息通过一种更加直观的形式呈现出来，从而使解题过程得到简化。可见，应用数形结合方法，可以有效提高学生的解题效率。因此，本文将结合以下几项内容来阐述数形结合在高中数学解题中的具体方式。

一、数形结合：集合问题

集合是高中数学教学中第一项教学内容，同时也是高中数学教学的基础，集合中涉及的映射关系会贯穿于很多教学内容中，所以集合问题的理解对于高中数学教学具有十分重要的意义。在集合问题中，交、并、补是集合问题的主要运算方式，但是若遇到较为复杂的数量关系，很难直接通过交、并、补的运算求出结果，而利用数形结合的方法则可以有效解决这一问题，尤其是韦恩图的应用，更是对集合问题解題效率的提升具有十分重要的意义。

例如，在《集合的基本运算》这一节中，集合与实际问题相结合是一种十分重要的形式。比如：在学校的春季运动会当中，某班级中有28人报名参加了比赛，其中，有15名同学参加了径赛，有8名同学参加了田赛，有14名同学参加了球类项目竞赛，已知在参加比赛的学生中有3人同时参加了径赛和田赛，有3人同时参加了径赛和球类项目，没有同时参加三项比赛的学生，求同时参加了田赛和球类项目的学生以及只参加了径赛的学生有多少？在解这道题的时候，如果只借助数量关系，需要经过大量的交、并、补运算，十分容易出错，而利用韦恩图则可以有效弥补这一缺陷。首先，设参加径赛的学生为集合A，参加田赛的学生为集合B，参加球类项目的学生为集合C，在绘制韦恩图时，将各个集合用椭圆表示出来，当两个集合有公共元素时，则将椭圆相交，若集合没有公共元素，则使椭圆相离，然后，将集合中的元素数量填到韦恩图中相对应的位置，设同时参加田赛和球类项目的学生为x，根据图象，可以很直观地得出9+3+3+（8-3-x）+x+（14-3-x）=28，x=3，所以同时参加了田赛和球类运动的学生有3名，只参加了径赛的学生有9名。可见，在集合问题中，数形结合的应用可以极大地简化解题过程。

二、数形结合：数列问题

在解决数列问题的时候，通常的方式就是利用代数思维和方法去解决。但是，从数列本身的特点来看，数形结合的方法对于数列问题的解决具有重要作用。简单来说，数列可以理解为定义域是正整数集的函数在自变量按照一定顺序取值时对应的一列具有规律的函数值，所以数列通常可以用函数解析式表示出来，基于这一特点，可以将其转化为函数图象，这样一来，能够使数列的通项公式以更加直观的形式呈现出来，从而促进数列解题效率的提升。

例如，在教学《等差数列的前n项和》这一节内容时，我给学生出了这样一道题：已知等差数列{an}，a1>0，3a8=5a13，求Sn最大时n的值。经过分析，由于3a8=5a13，所以a8/a13=5/3，又因为a1>0，所以a8>a13，所以可以判断该数列为递减数列。将数列通项公式基本的函数图象在坐标系画出，设图象与横轴的交点为C，分别过a8与a13做两条垂直于横轴的线段，且与横轴交于A点和B点，设BC为x，根据构造的相似三角形可知x/（x+5）=3/5，解出x=7.5，所以C点的坐标为（20.5，0），由于n为正整数，所以很明显可以判断出当n为20时，Sn最大。可见，数形结合是一种适用于解决数列问题的方法。

三、数形结合：解不等式

在高中阶段，不等式问题有求取值范围以及求最值这两种主要形式，在一些不等式问题中，直接的计算是无法得出结果的，所以只能借助数形结合的方式加以判断。只有这样，才能更加有效地解决不等式问题。

例如，在教学《二元一次不等式（组）与简单的线性》这一节中，有这样一个问题：如果x，y满足：

x≥0

x≥y

2x+y+k≤0

求能够使Z=x=3y的最大值为12的k的取值范围。解这道题时，首先要作出各个函数图象，其中直线y=x与直线2x+y+k的交点是A（-k/3，-k/3），当直线Z=x+3y过点A时，Z有最大值12，所以-k/3-k=12，k=-9。通过这一过程可知，数形结合的解题方法同样十分适用于不等式问题的解决。

总之，在当前的教育背景下，数形结合不但是一种十分重要的解题方法，而且是新课标要求学生应该掌握的一种重要数学素养。因此，教师应有意识地将数形结合的方法渗透于教学的全过程，并不断完善每一个教学环节，只有这样，才能有效促进高中数学教学质量的提升。

【参考文献】

[1] 逯昌林. 数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[J]. 考试周刊，2018（93）：82.

[2] 杨坤. 数形结合在高中数学中的应用技巧分析[J]. 软件（教育现代化）（电子版），2018（11）：251.

（作者单位：吉林省扶余市第一中学）