在解题教学中提升学生数学素养——《解三角形》习题课教学案例

广东省惠州市惠阳中山中学 刘锦亮

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》在课程“基本理念”中指出：通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。解三角形是高考的热点，考查核心是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式；考查难度适中。学完解三角形整章知识后的习题课必是以巩固基础知识，围绕正弦定理、余弦定理、三角形面积公式这些核心知识点展开；增加训练的难度和综合性；归纳解题规律，使学生学会解题，从而提高分析问题和解决问题的能力。

一、教学目标

1.熟记并能灵活应用公式解决三角形的问题。

2.能利用公式解较复杂的综合问题。

二、教学重点

应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形。

三、教学难点

培养发现问题，分析问题，解决问题的能力。

四、教学过程

（一）注重通法，扎实基础

师：前段时间我们完成了《解三角形》的学习，今天上一节习题课。首先请同学们完成下面几道题（多媒体投影）：

在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则sinB=________；

在△ABC中，B=30°，a=2，c=4，则△ABC的面积为_____；

在△ABC中，已知a=4，b=6，A=120°，则边c的值是（ ）

在△ABC中，若a2-c2+b2=ab，则cosC=________________。

【设计意图：围绕核心知识点设计几个基础题，帮助学生回顾整节知识】

学生活动：在草稿上完成练习。

老师活动：在巡视中观察学生完成情况。对个别学生进行指导。

师：题目比较基础，刚看到大部分同学都较好地完成了。我们把答案核对一下，不讲评。

（二）深入挖掘条件，加强范围意识，提高思维的严谨性

师：刚才只是热身，现在我们正式进入今天的主题：（多媒体投影）

【设计意图：由已知条件求三角函数值，学生往往会忽略角的取值范围，将本来能够做对的题目因为考虑不全而做错。这个例题条件比较隐蔽，判断难度较大，学生需要具备严谨的思维和较强的综合分析能力，才能准确把握题意，作出正确的解答。

师：大家觉得这位同学的解答对不对？

生众：点头认同。

师：好，这位同学的思路很自然。

师：这里我还有一个问题：角A是锐角，还是钝角同学们有没有考虑过？

生众：角A可以是锐角也可以是钝角啊。

师：确定吗？谁来告诉我你的判断依据？

生众：哦！原来角A是锐角。

师：很好！解决三角函数问题的一个关键点就是限制角的范围；将角的取值范围限制得越小，所得结果的准确性越高。限制角范围的常用方法有：三角函数图像、三角函数线、比较大小等。（投影总结）希望同学们以后多长几个“心眼”，深挖条件，严谨审题。

（三）围绕核心知识点，增加训练难度和综合性

师：三角函数的综合问题是高考的热点，在高考试题中频繁出现。下面我们来看看它是怎么考查的，请同学们完成例2（多媒体投影）：

例2 （2019 年高考全国卷Ⅰ理科17 题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC。

（1）求A；（2）若a+b=2c，求sinC。

【设计意图：紧扣热点。用正弦、余弦定理和三角形面积公式对三角形热点问题进行综合训练，主要培养学生的知识综合运用能力、观察能力和分析问题能力；规范解题方法，总结解题规律】

师：很好，思路非常清晰。

师：非常好，第一个问题顺利解决。第二个问题怎么办呢？

师：此处应该有掌声！（教室响起热烈的掌声）

师：这是第二个难点！角的范围是同学们容易出错的知识点。很多同学没有充分挖掘已知条件，不能准确判断角的范围，从而导致错误的结果。

师：解决此类问题要根据已知条件灵活运用公式消元化简，同时在求解过程中不断考验同学们的观察能力和分析问题能力。

希望同学们课后多做练习，归纳解题方法，总结解题规律。最后剩下的时间整理巩固今天的课堂内容。

五、教学反思

1.学生主动参与课堂

学生是课堂的主体，只有学生全面参与的课堂才是成功的课堂。通过学生自主参与，我们感受到学生的课堂思维参与、投入的程度更强，问题意识也更强，对老师提出的问题不再等待教师的讲，被动地听，而是能够积极地想。学生主动参与学习，知识得到了很好巩固，也收获了学习成功的乐趣。

2.精选典型例题，渗透解题思想方法

教师对例题精选、提炼，是知识与思维的“创新”，是教师在习题课中的教学升华，它所带来的课堂效果是显而易见的。例题的选择要着眼于学生的最近学习内容，体现“典型性、针对性、层次性”。选取例题的主要途径有：（1）教材上的典型习题，例题；（2）易错题；（3）近年的高考真题。在选题中，例题要能反映高中数学的核心知识和方法，要内涵丰富，以点带面，可以通过联想、类比等方法迁移发散。例如“热身”和例1 部分来源于教材课后练习，完美地体现解三角形的转化思想，边角转化策略，同时也是经典的例1“易错题”，学生在得到两根后判断角A的范围容易忽略导致错误结果。例题也可以选择近年的高考试题，明确高考考什么、怎么考，可能会有哪些变形，激发学生的挑战欲望，培养学生解题能力。总之，教师一定要把培养学生的解题思维放在首位，精选有利于模式化解题总结的例题，多选贴近高考的经典题，多角度、有计划地启发和调动学生去进行积极的思维活动。

3.培养学生“说数学”

学生数学能力的培养是长期的，日积月累的。在解题教学中，教师积极创设情境，调动学生的求知欲，让学生愿意读数学、说数学。尽可能做到每一步都能和学生共同探讨：为什么这么做？你是怎么想的？不管正确与否，哪怕是没有根据的猜想，都鼓励学生大胆提出问题，回答问题。让学生用数学语言表达自己的想法，在解题过程中凸显最核心的思想方法。

从本质上来讲，落实学生“四基”，提高数学能力，一定促进了核心素养的培养。教师应当结合教学内容、教学任务，设计合适的问题情境，引导学生用数学思维分析问题、解决问题，在问题解决的过程中促使学生理解数学内容的本质，促使学生数学核心素养的形成和发展。