对“最短路径问题”的教学及反思

安徽省阜阳市第十九中学 韦中良

《课程标准（2011 年版）》指出：“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。因此，“综合与实践”一课可以为学生提供综合运用数学知识、技能和方法解决实际问题的机会，从而在实践活动中逐渐学习“三会”，提高“四能”，深化“四基”。笔者在“阜阳市初中数学‘综合与实践’课程实施现状及对策研究”课题组活动中，开设了“最短路径问题”（人教版八年级上册）探究课，以下是教学简录及思考，谈谈自己的教学体会。

一、教学简录

1.引言

前面我们研究了“两点之间，线段最短”和“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”等问题，我们称这样的问题为最短路径问题。在我们的现实世界中有很多这样涉及最短路径的问题，今天我们就来一起探究有名的“将军饮马问题”。

2.建构活动

活动1：如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的小河边饮马，然后到B地。牧马人到小河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

图1

学生在学习单上独立思考，教师巡视完成情况。

教师：哪位学生愿意给我们展示一下你的做法？（沉默片刻）

学生1：（展示学习单上的图形，直接在图1 上画图）我是连接AB，与小河相交于C点，C点就是牧马人要到的地方。

教师：也就是说，牧马人到小河边的C点处饮马，可使所走的路径最短。为什么呢？你能说明一下原因吗？

学生1：因为“两点之间，线段最短”。

教师：学生1 说得很准确，但是这是一个实际问题，首先应该做什么呢？

学生2：（不太确定的）应该把它变成数学问题。

教师：嗯，你反应很快，要怎么变呢？

（学生2 和大部分学生思考）

学生3：把河看成一条直线l，A地和B地看成两个点。

教师：学生3 说得很好，这样就把这个实际问题转化成了数学问题，如图2，再根据学生1的做法，就能解决这个问题了。同学们试一试。

图2

活动2：如图3，牧马人从A地出发，到一条笔直的小河边饮马，然后到B地。牧马人到小河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？这就是历史上著名的“将军饮马问题”。

图3

教师：这两个实际问题完全一样吗？有什么相同点和不同点？

学生4：不完全一样，B的位置不一样。

教师：学生4 观察得很仔细。本题中A地和B地在河的同侧。那你能把这个实际问题转化为数学问题吗?

学生在学习单上尝试操作，画出图形，教师巡视完成情况，学生基本上都能画出图4。

图4

教师：根据上一个问题的解决经验，你能否解决这个问题呢？（学生迟疑……）

教师：（继续引导）那你能将这个问题转化为上一个问题吗？

学生5：这两个问题的区别是点B的位置不一样，如果要把这个问题转化为上一问题，那就得把点B“挪”到直线l的另一侧，这样就和上个问题一样了。

教师：学生5 说得非常好，那怎么“挪”呢？（学生沉默、思考）

教师：（继续提示）将本题中的点B“挪”到直线l的另一侧B'，并且满足直线l上任意一点C到B与B'的距离都相等，即BC=B'C。这样就将本题转化为上一问题了。

学生6：（试探性地）可不可以利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B'？

教师：可不可以呢？

学生7：（肯定的）可以，因为根据轴对称的性质，可以得到BC=B'C。

教师：你说得对。这样就把本题转化为上一问题，从而可以根据上一题的方法解决这个问题。请同学们完成操作过程。

学生画图，完成操作，如图5。

图5

教师：那你能用所学知识证明AC+BC最短吗？

学生独立思考、合作交流，教师指导，完成证明。

3.归纳总结

教师：上述两个问题可以归纳为“两点一线”问题，但都是围绕“最短路径”展开，关于这类问题，你能否总结一下解决的方法？

学生8：我觉得应该是把同侧的点转化到异侧。

教师：你总结得很具体，可是“两点一线”问题只是“最短路径”问题的一部分。我们知道数学是千变万化的，但是万变不离其宗，你能总结更一般的方法吗？

学生9：“最短路径”问题是根据轴对称的知识把直线同侧的点转化到异侧，再由“两点之间，线段最短”来确定点的位置。

4..延伸拓展

活动3：如图6，牧马营地在点A处，每天牧马人赶着马群先到草地a吃草，再到河边b饮水，最后回到营地，牧马人如何走路，可使所走路径最短？

图6

学生独立思考后，小组合作，最后找到最短路径，如图7。

图7

5.数学化认识

教师：学习了本节课，你一定有自己的收获吧！谁给我们分享一下？

学生自我总结，交流补充，教师总结，然后形成图8。

图8

二、教学反思

1.合理加工素材，促进学生自主参与

《课程标准（2011 年版）》指出：要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，合理选择教材是关键。

笔者在选取本课素材时查阅了相关文献，课本的处理是学生直接探究活动2，但是对我班学生来说有些困难，因此我选择了起点较低的活动1，切入口小，简单易操作，同时能够唤醒学生探究问题的欲望，而且这个简单的实际问题中也蕴含着解决问题的方法。

另外，根据学情，改变以往的学习方式，让学生在学习单上直接画图操作，这样教师备课更容易，学生操作更方便，从而进一步增加了学生探究的兴趣。

2.精心设计问题，助推学生有效探究

《课程标准（2011 年版）》指出：“综合与实践”活动有别于具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与的实践过程相对完整的学习活动，由此可知，教师设计的问题会引领学生后续的学习、探究，起到“火车头”的作用。

本节课的“活动1”从“活动2”中脱胎出来，但难度低于“活动2”，学生易于上手，最大限度地唤醒了学生的探究欲望。更为重要的是，通过“活动1”的探究，学生了解了探究“最短路径”的相关知识和“套路”，为后续探究“活动2”打下了坚实的基础。因此，学生在探究“活动2”的时候，并没有遇到太多的阻碍，相对容易地解决了本节的重点问题，提高了探究的有效性，并在此基础上归纳总结出“最短路径问题”的一般方法和解决实际问题的模式。这时学生的视野更加开阔，思维更加活跃。教师顺理成章地提出更具有挑战性的“活动3”，学生经过认真分析，自然也能解决。

3.积累活动经验，提升学生核心素养

《课程标准（2011 年版）》指出：积累数学活动经验，是提高学生数学素养的重要标志。而“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。

这节课中，通过寻找“最短路径”，引导学生讨论怎样发现问题，怎样将实际问题转化为数学问题，怎样综合地利用数学知识、技能和方法解决问题，从而提高了学生分析问题和解决问题的能力，增强了应用意识，积累了活动的经验，提高了实践能力。同时，在这个过程中，学生通过将“活动2”转化为“活动1”、“活动3”转化为“活动2”，逐渐感悟着转化与划归的数学思想和方法，而且学生不断将实际问题抽象成数学问题，逐渐养成数学抽象、逻辑推理和数学建模的意识，提升了学生的数学核心素养。