高考题怎么改编（四）——三角篇

苏 玖

一、真题展现

（2019全国Ⅱ卷第15题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，a=2c，则△ABC的面积为_______．

二、思维延伸

本题考查了余弦定理和三角形的面积公式．利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式就能求出结果．如果将条件“a=2c”去掉，则题目变为：

（改编1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，，则△ABC的

本题将余弦定理、三角形面积公式及基本不等式综合在一起进行考查，这也是高考命题的重要题型．后面将给出两种不同的解题策略，其中第一种策略较简单．我们还可以求三角形的周长取值范围，于是改编为：

（改编2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，则△ABC的周长的取值范围为_______．

以上三题中角B是给出的，如果隐藏在有关边角等式中，可以改编为：

（改编3）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=6，求△ABC的面积最大值．

本题将正弦定理、余弦定理、二倍角公式、诱导公式及基本不等式整合在一起，先利用相关公式求角，再利用余弦定理和基本不等式求三角形面积的最大值．如果增加一个条件，问题就可以改编为：

（改编4）锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=8．记△ABC的面积为S，已知．求△ABC面积的取值范围．

运用余弦定理，可求得角A的大小；再运用余弦定理求出a用c表示，由锐角△ABC的充要条件建立关于c的不等式，从而求出c的取值范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力．本题是由2019全国Ⅲ卷第18题改编而成．

以上几题都是利用三角形中三角函数知识求面积最值或取值范围．我们也可以由三角形的面积的最大值求边长，例如，

（改编5）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且边长a=m为常数，△ABC的面积S的最大值为，求m的值．

其实本题是2019全国Ⅲ卷第18题与全国Ⅱ卷第15题整合并改编而成，考查三角函数的有关公式，这是由已知角和面积的最大值求边长．当然也可以由定边长和面积的最大值求定角的大小．于是改编为：

（改编6）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，角A为定值，△ABC的面积S的最大值为4，求A的值．

上述几道题都是研究三角形的角、边与面积最值或范围问题，他们之间存在内在联系．从上述求解过程可以看出题目改编的历程．也可以将边替换为内角平分线长或中线长，再来研究相关最值问题，可以研究最小值吗？于是改编为：

（改编7）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（B-C），角B的平分线BD的长为2，（1）求△ABC面积的最小值；（2）求三角形周长的最小值．

本题将两角和差三角函数公式与三角形面积有机结合，同时又考查利用判别式法或者导数法或者基本不等式法等求最值，但基本不等式法较简洁明了．本题也是由2018年江苏卷第13题改编而成，也可以由最值求角平分线的长．

（改编8）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，其中S为△ABC的面积．（1）求A的大小；（2）若角A的平分线AD的长为定值，且△ABC面积的最小值2，求AD的长度．

已知最值反过来求线段长度，其基本思路是，先在定长线段情况下求出面积的最小值，然后再利用最小值建立方程，从而求出定长，也可以由最值求定角的大小或相关三角函数式的值．

（改编9）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定角A的平分线为AD，且AD=2，△ABC的面积S的最小值为8，求的值．

本题通过三角形的面积找出相邻两边b，c与角A的等式关系，利用基本不等式求出面积的最小值，从而求出角A（或某一三角函数值），再利用两角和差三角公式求解．利用角平分线的大小还可以研究三角形周长的最小值．

图1

（改编10）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanB，tanC是关于x的方程（常数m＞0）的两个实数解．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线为，求△ABC的周长l的最小值．

三、点拨解析

真题解析：由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB，因为b=6，a=2c，

所以，36=（2c）2+c2-4c2cos，即c2=12，所以，S△ABC=acsinB=c2sinB=6

改编1：由余弦定理得，当且仅当a=c时等号成立．又因为，故△ABC的面积最大值为

改编2：由正弦定理得，因此三角形的周长为又因为因此，所以，12＜l≤18，故三角形的周长取值范围为（12，18］．

如果本题△ABC为锐角三角形，那么三角形的周长范围又是什么呢？由于且故三角形周长的取值范围为

改编3：因为，由正弦定理知，，再由二倍角公式及诱导公式得，又因为0＜A＜π，所以，所以再由余弦定理得36=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，即bc≤12，当且仅当b=c时等号成立．又因为，故△ABC的面积最大值为

改编4：因为，由余弦定理及面积公式得因此，又因为0＜A＜π，所以又因为b=8，因此

于是问题转化为求c的取值范围．由余弦定理得a2=64+c2-8c，再利用锐角三角形的充要条件a2+b2＞c2且b2+c2＞a2且a2+c2＞b2建立关于c的不等式，即c2-8c+64+c2＞64且c2-8c+64+64＞c2且64+c2＞c2-8c+64，解之得4＜c＜16，所以故△ABC面积的取值范围为

改编5：因为，即为，由正弦定理得于是所以又因为A，B∈（0，π），因此，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2+bc，再结合基本不等式知m2≥2bc+bc=3bc，所以，即．又因为，所以，解之得，m=6．

改编6：由余弦定理及基本不等式得16=b2+c2-2bccosA≥2bc-2bccosA，所以bc≤因此因为角A为定值，所以，即4=得sinA=1-cosA，由二倍角公式得又因为所以

改编7：（1）在△ABC中，因为sinA=sin［π-（B+C）］，于是sin（B+C）=sin（BC），展开化简整理得cosBsinC=0．又因为0＜sinC≤1，因此cosB=0，所以又因为S△ABC=S△BCD+S△ABD，因此即ac=2（a+c）．由基本不等式得即ac≥16，因此，当且仅当a=c=4时等号成立，所以△ABC面积的最小值为8．

另法：因为ac=2（a+c），所以因为所以利用判别式法求解，方程a2-Sa+2S=0有解，因此Δ=S2-8S≥0，即S≥8（S≤0），所以S的最小值为8，此时a=4，c=4．

改编8：（1）因为，由数量积定义知即，而0＜A＜π，于是

（2）因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此设AD=p，即p（b+c）=bc，由基本不等式得，所以bc≥4p2．又因为于是，即S的最小值为．由题意知即p=所以AD的长度为

改编9：因为S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即由基本不等式知

改编10：首先求出m的取值范围，其次利用根与系数关系和两角和与差的正切公式求出B+C，即得角A的大小，再利用面积代换寻找b，c的等式关系，从而求出b+c的取值范围，最后利用余弦定理找出周长与b+c的函数关系，再利用导数求出最小值．

（1）因为tanB，tanC是关于x的方程（常数m＞0）的两个实数解，因此Δ=3m2-4m-4＞0，解得m＞2．又tanB+tanC=，tanBtanC=m+1，于是即，所以

（2）由面积公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，化简整理得即2（b+c）=bc，由基本不等式知，，即b+c≥8．再由余弦定理得，a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc，所以周长，再将2（b+c）=bc代入，令x=b+c得．求导得，因此f（x）在［8，+∞）上单调递增，所以f（x）的最小值f（8）=12．故三角形的周长的最小值为12．

四、回顾悟道

这组高考改编题，是通过对一道全国高考填空题的条件进行减弱或加强使其形成新的考题，如改编1在原题中减少一个条件下，改求三角形面积的最大值；改编3～6变更原题条件，由面积的最大值求边或角，从而找出一般结论．一般地，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=m为常数，角A为定值，研究△ABC的面积S的最大值．事实上，因为由余弦定理得m2=b2+c2-2bccosA，结合基本不等式有，m2≥2bc-2bccosA，因此bc≤故面积最大值为其实，我们借助平面几何知识，不难理解，当BC和角A为定值时，点A的轨迹是圆上弦BC所对的一段弧，显然AB=AC，即△ABC为等腰三角形时，A到BC的距离最大，从而面积有最大值．改编7～10四题可以研究一般情况，即△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定角A的平分线为AD，且AD=p，研究△ABC的面积S（或者周长）的最小值与A，p的关系式．以面积为例，一般地，若定角A的平分线为AD，且AD=p，由面积公式有，S△ABC=S△ABD+S△ACD，因此即