例谈“皮克定理”在高考中的考查——数学文化原创题（四）

扬州市新华中学 常国庆

近些年来，以数学文化为背景的高考题不断呈现，逐步形成了“依托数学史料，嵌入数学命题，彰显数学文化”的高考命题特色和亮点．

数学文化怎么考？数学文化题怎么解？这是同学们普遍关心的问题．

根据近些年的高考数学试卷分析，数学文化题是另一种形态下的常规题，同学们不必害怕，将它当作一道应用题来解就行了．如果了解试题的文化背景，将会缩短你的思维过程，解题也会更简洁．下面以“皮克定理”为例，说说数学文化在高考中的呈现方式．

问题1：图1中的每个小正方形面积都是1，那么图中S△ABC＝？

图1

问题2：如果给你一个不规则的任意多边形呢？割补起来就不那么简单了！

早在1899年，奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克（GeorgAlexanderPick）发现，对于平面上的任意一个多边形，只要它的每一个顶点都在单位正方形网格的“格点”上，它的面积都有类似的巧算方法．皮克沿着这个思路进一步推导得到了一个超级简单的面积计算公式：记多边形内部所含的格点数为I，多边形边界上的格点数为B，则多边形面积这就是皮克定理．

一、皮克定理的证明

皮克定理的证明比较麻烦，这里先证明特殊情形（格点矩形、格点三角形）下的皮克定理，然后用归纳法证明一般情形（格点多边形）下的皮克定理．

1.格点矩形的皮克定理

证明：设矩形ABCD的长和宽分别是m和n，容易从图2上看出S=mn，I=（m-1）·（n-1），B=2（m+n），因为（n-1）+（m+n）-1=mn，所以

图2

2.格点三角形的皮克定理

证明：将三角形放置在矩形中，并使得矩形至少一个顶点与三角形的一个顶点重合．这样，格点三角形在矩形中有五种不同的情形，如图3：

图3

（1）证第①情形

如图3①设AB，BC，CA内含有的格点数分别为a，b，c，且因△ABC中有I个内格点，则矩形ABCD就有2I+c个内格点．故有

类似可证明②③④⑤情形．

3.格点多边形的皮克定理

证明：对于一个有k（k＞3）条边的格点多边形．首先证明这样的多边形必有一条含于其内部的对角线．事实上，如果是凸多边形，则其结论是显然的；如果不是凸多边形，我们假定在某一顶点处P的内角大于180°，这时从P点出发的一条射线，让它扫过多边形内部时，必定会碰到另一个顶点（否则，多边形将会包围了一个面积为无穷大的区域），而这就决定了一条以P为端点位于多边形的对角线l．

现设格点多边形M有I个内格点和B个边界格点，而对角线l把M分成两个简单的格点多边形M1和M2，它们分别有I1和I2个内格点，B1和B2个边界格点，假定在l上除端点外有x个格点，则B=B1+B2-2-2x，I=I1+I2+x．

令S，S1，S2分别表示M，M1，M2的面积，则

二、皮克定理的应用

1.高考试题中的皮克定理

例1（2013湖北文科卷）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图4中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．

（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_______；

（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=_______．

图4

例2（2011北京理科卷）设A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（ ）．

A.｛9，10，11｝ B.｛9，10，12｝ C.｛9，11，12｝ D.｛10，11，12｝

2.皮克定理的原创题

下面是新编的2道题，供大家练习．这两道题我们用常规方法都可以解决．相信你弄懂皮克定理内容后，可以有一个新的思路．毕竟多尝试一题多解，可以拓宽我们的思路啊！试一试用多种方法解决吧！

题1．不等式2x-3＜y＜3表示的平面区域内，正整数解的个数是_______个．

题2．在平面直角坐标系中，若P（x，y）的坐标x，y都是整数，则称点P为格点．直线x+y=n（n为正整数）与坐标轴围成的△ABC内包含有_______个格点，此时△ABC的面积为_______．

答案与解析：

题1．3．

分析：首先，将不等式2x-3＜y＜3转化为不等式组画出对应的平面区域，图5，然后在可行域中找出正整数点（1，1），（1，2），（2，2）．

本题用皮克定理来解：S△ABC=9，而边界格点个数B=12，可得内格点个数I=4，而（1，0）不是正整数解，所以，正整数解的个数是3个．

图5

图6

题2．

分析：本题通过画图，如图6，结合数列知识，从特殊到一般归纳出△ABC内的格点个数为：