基于核心素养的“导数与函数单调性”课例分析及其教学改进

张长雁

[摘  要] 精心的教学设计是实施有效教学的前提，精彩的教学生成是在教师引导下，凸显学生主体学习活动及师生互动、共同学习提高的过程. 教学中教师应该机智巧妙地引导学生化解和消除学习中的难点，促成精彩的教学生成，提高教学效率，切不可因追求完成预定的教学进度而跳过学生知识的困惑点，忽视学生自主学习过程，形成学生思维的空洞，影响学生思维能力的提升，造成教学低效.

[关键词] 核心素养;教学改进;教学生成;生长点;课例分析

当前学科核心素养是一个热门的话题，课堂教学是培养和落实学生的学科核心素養的主阵地. 基于核心素养的教学设计是中学教师的首要任务，迫在眉睫，势在必行. 教育心理学理论告诉我们：精心的教学设计是实施有效教学的前提，精彩的教学生成是在教师引导下，凸显学生主体学习活动及其师生互动、共同学习提高的过程. 教学中，教师应该敏锐地捕捉学生思维的发生点，发现知识的生长点，把握问题的关键点，集中精力，重点突破，提升学生的数学思维能力，培养学生的数学学科核心素养. 教师应该机智巧妙地引导学生，化解和消除学习中的难点，促成精彩的教学生成，提高教学效率，切不可因追求完成预定的教学进度而跳过学生知识的困惑点，忽视学生自主学习过程，形成学生思维的空洞，影响学生思维能力的提升，从而造成教学低效. 现以课例“导数与函数单调性”予以分析说明.

教学过程简述

本节课是一位青年教师执教的高三复习课，授课班级是高三往届理科班，学生基础一般，期中考试数学平均成绩约74分，属于中等水平. ？摇

首先，教师通过复习梳理知识点导入新课，强调了函数的定义域、单调区间，重点说明和澄清了导数和函数单调性的关系. 其次，教师选取了一道典型的例题——2017年全国高考Ⅰ卷中压轴题21题：已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，讨论f（x）的单调性.

接着，教师开始解题分析，并组织教学;学生分组，合作学习，讨论研究;教师提问，学生集体回应;教师讲解，黑板和电子白板交互使用，讲解思路清晰，声音洪亮，感情充沛.

教学中，教师按照参数a的范围通过分类讨论的方法解决了a=0和a>0的情况，将a<0的情况留给学生课后去做. 可是就本例题学生主体学习思维活动以及学习中存在的问题都没能够充分地体现出来，教师也没有进行方法的归类、总结和提炼.

接下来，教师开始课堂练习环节，给出跟踪练习，组织学生分组，实践操作，合作讨论，归纳总结，组内形成共识. 小组代表发言，展示交流讨论的结果. 此时，教师马上发现学生学习上的漏洞，出现错误的原因就是在前面例题的教学中对难点的突破不彻底造成的. 这时，教师又一次进行了知识的补充和讲解，可是下课铃声已经响起. 虽然教师的重新讲解最终解决了这个难点，但是由于前面教学难点的突破不够深入和细致，导致后面教学中同一难点（参数的取值范围）的重新浮现，浪费了课时，造成教学低效. 这就是教学中的“热冷饭”现象，是一种常见的教学通病，教师理应尽量地避免和根除这种教学陋习.

问题分析

在这里，笔者认为此题作为一个典型问题借以突出学生对数学分类讨论思想的感悟、理解和应用，应该将分类讨论作为一个知识重点和学习难点来进行教学，针对学生已有的学习水平和解题能力，做好教学设计，选择好适当的教学实施策略. 具体而言，假如学生对前两种情况的讨论已经掌握，可以将第三种情况留给学生自主练习，但教师仍然要检查学生的完成情况，适时调整教学，不可为追求教学进度而“一走了之”;假如学生的基础薄弱，就更应该把学生的练习情况通过学生的活动如实反映出来，比如学生板演，提问学生让其回答问题，教师巡查学生练习情况等，借以观察学情，掌握教学反馈信息. 即从学生视角出发，解决存在的问题，提高学生分析和解决问题的能力.

教学建议

高三数学课堂教学不可平均着力，应该集中精力攻克一点——教学核心问题. 即将前面的例题作为重点和难点突破，应该不惜教学时间进行参数范围的各种情况的分析和讨论，同时教师规范板书解题步骤，展示解答思路. 只有将这一重难点解决好，才能水到渠成地进行下一步的教学. 最主要的是要将三种情况分析进行归纳和总结，总结规律和方法，形成解决这一类问题的通法，然后再做针对性练习、变式练习、高考模拟练习，达到教学的预期效果，进一步拓展学生思维空间，提升学生的思维能力和解决问题的能力，培养学生数学学科核心素养.

教学改进

题目：已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，讨论f（x）的单调性.

1. 计算能力考查点：求函数f（x）的导数

求导： f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1.

（1）教学分析：对于函数的求导，学生容易发生计算上的错误，这是一个易错点，教师不应该忽略这个计算过程，应该对学生加强训练，增强学生的基本运算能力.

（2）教学策略：学生自主练习，先求函数f（x）的导数，同时抽取几位不同学习水平的学生上黑板板演. 观察学生的解题情况，暴露学生解题的思维过程，及时发现错误，及时纠正和完善. 重在考查和提升学生的数学核心素养——计算能力.

2. 思维突破点：函数导数分解因式

（1）教学分析：这是一个思维触发点. 因为通过函数导数讨论导数的正负来判断函数的单调性，所以要考虑参数a的范围. 但就原导数的形式直接讨论较为困难，故将导数分解因式，将问题转化，即f′（x）=（2ex+1）（aex-1）. 这一过程体现了数学转化与化归思想，也就是数学核心素养——数学抽象的形成过程，也是搭建学生最近发展区的重要过程. 这个分析和引导过程必须体现教师的主导作用，激发学生进行积极的自主思考和探究交流. 同时，必须彰显学生的主体学习活动. 只有两者的完美结合才能有效地促成教学生成.

（2）教学策略：教师适时启发学生进行自主思考、实践操作、合作探究和交流，让学生领会将导数分解因式的意图——便于讨论导数的符号.

3. 能力生长点：导数符号的讨论

（1）教学分析：通过前面的知识铺垫，此时，教学活动中已经构建了学生的最近发展区，按照参数a的取值范圍分为a=0，a<0，a>0三种情况进行讨论.

如何选择其一讨论？显然体现的是由特殊到一般，从简单到复杂的数学演绎和化归思想. 即首先从特殊情况a=0讨论，当a=0时， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）= -（2ex+1）<0. 其次，到底讨论a<0还是a>0？这里就是学生能力的生长点. 重点考查学生敏锐的数学感觉，即是考查和提升学生的数学核心素养——数据分析能力.

显然，按照由易到难的原则，应该先讨论：当a<0时， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）<0，因此当a≤0时， f′（x）=（2ex+1）（aex-1）<0，函数f（x）在定义域（-∞，+∞）上单调递减.

对第三种情况“a>0”的讨论是难点. 这一点上，教师应当花大力气进行教学引导和分析，加强学生综合应用知识解决问题的能力. 比如解方程还需要结合函数知识，判断导数的符号必须结合不等式和函数的知识，等等. 因此，这个难点既是学生的困惑点，也是知识的交汇点，更是能力的生长点.

难点：当a>0时，令f′（x）=（2ex+1）（aex-1）=0，解得ex= ，即x=ln . 因为函数y=lnx为定义域上的增函数，所以当xln 时，函数f（x）在区间ln ，+∞上单调递增.

结论：当a≤0时，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减;当a>0时，函数f（x）在区间-∞，ln 上单调递减，函数f（x）在区间ln ，+∞上单调递增.

这个过程体现了数学核心素养——逻辑推理能力和计算能力的形成及培养.

（2）教学策略：教师组织学生分组讨论，合作探究，相互交流. 小组代表发言，师生对话、互动、点评、解决简单的两种情况a=0，a≤0，然后筛选优秀的小组代表进行板演，展示对a>0情况的解决过程. 最后，幻灯片展示完整解题过程，师生共同总结解决这类问题的通法和规律.

结语

总之，高三复习教学应该切中学生的学情，以学生视角观察问题、思考问题、解决问题. 把学生作为备课资源，访谈学情，深入了解学情，研究学情，尽量让学生能够参与教师的备课活动. 致力解决学生知识困惑点、衔接点、交汇点;巡查学生思维的盲点、转折点、生长点;把控教学的关键点、灵感的触发点、思维的创新点. 多种方法创建学生的最近发展区，促使学生思考，开拓学生的思维空间，提升思维能力，凝练思维品质，培养学生的数学学科核心素养，提高他们发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.