一道课本复习题的变式训练及其思考

摘 要：本文对苏科版八年级数学（上）第6章一道与一次函数图象有关的复习题予以解析，同时进行变式训练并给出思考.

关键词：一次函数;复习题;变式训练;思考

作者简介：李海静（1979-），女，江苏淮阴人，本科，中学一级教师，研究方向：中学数学教学和解题研究.

1 题目呈现

题目 （苏科版八年级数学（上）第168页第8题）已知一次函数y=2x+b，如果它的图象与两坐标轴所围成的图形的面积等于4，求b的值.

解析 设一次函数y=2x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则可得A（-b2，0），B（0，b）.

于是，OA=-b2=b2=12b，OB=b.

依题意得12·OA·OB=4.

所以12·12b·b=4.

所以b2=16，解得b=±4.

所以b的值为±4.

2 变式训练及其思考

变式1 已知一次函数y=2x+b，如果它的图象与两坐标轴所围成的图形的周长为3+5，求b的值.

解析 设一次函数y=2x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则可得A（-b2，0），B（0，b）.

于是OA=-b2=b2=12b，OB=b.

由勾股定理，得AB=OA2+OB2=（12b）2+（b）2=52b.

因为△OAB的周长为3+5，

所以12b+b+52b=3+5.

即3+52b=3+5，b=2.解得b=±2.

所以b的值为±2.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了勾股定理的运用，锤炼了思维的发散性、灵活性.

变式2 已知一次函数y=2x+b，如果它的图象过点P（5，2-b），求b的值.

解析 由条件，得 2-b=2×5+b，即2b=-8，解得b=-4.所以b的值为-4.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了一元一次方程的运用，锤炼了思维的求异性、广阔性.

变式3 已知一次函数y=2x+b-5，如果它的图象与x轴的交点在y轴的左方，求b的取值范围.

解析 一次函数y=2x+b-5的图象与x轴的交点为（5-b2，0）.依题意，得5-b2<0，解得b>5.

所以b的取值范围为b>5.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了一元一次不等式的运用，锤炼了思维的求异性、广阔性和深刻性.

變式4 已知一次函数y=2x+b-5，如果它的图象与y轴的交点在x轴下方，求b的取值范围.

解析 一次函数y=2x+b-5的图象与y轴的交点为（0，b-5）.依题意，得b-5<0，解得b<5.

所以b的取值范围为b<5.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了一元一次不等式的运用，锤炼了思维的发散性、广阔性和深刻性.

变式5 已知一次函数y=（2-b）x+b-1， 如果它的图象经过第一、二、三象限，求b的取值范围.

解析 依题意，可得2-b>0 且b-1>0，解得1

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了一元一次不等式组的运用，锤炼了思维的发散性、广阔性和灵活性.

变式6 已知一次函数y=2x+b+1，如果它的图象与一次函数y=3x+2的图象的交点在x轴上，求b的值.

解析 依题意，可设一次函数y=2x+b+1的图象与一次函数y=3x+2的图象的交点为P（t，0）.

由条件，得2t+b+1=0，3t+2=0，  解得t=-23，b=13.

所以b的值为13.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了方程组的运用，锤炼了思维的求异性、广阔性和深刻性.

变式7 已知一次函数y=2x+b2，如果它的图象与一次函数y=3x+2的图象的交点在y轴上，求b的值.

解析 依题意，可设一次函数y=2x+b2的图象与一次函数y=3x+2的图象的交点为P（0，t）.

由条件，得2×0+b2=t，3×0+2=t，  解得b=±2.

所以b的值为±2.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了方程组的运用，锤炼了思维的求异性、广阔性和深刻性.

变式8 已知一次函数y=3x+b，如果它的图象与一次函数y=bx+27的图象的交点在x轴的负半轴上，求b的值.

解析 依题意，可设一次函数y=3x+b的图象与一次函数y=bx+27的图象的交点为P（t，0）.

由条件，得3t+b=0，bt+27=0，解得t=3b=-9 或t=-3，b=9.

因为点P在x轴的负半轴上，所以t<0.

所以只能取t=-3，b=9.

所以b的值为9.

思考 经过这样的变式训练，巩固了一次函数的图象和性质，巩固了方程组的运用，锤炼了思维的发散性、灵活性、广阔性和深刻性.

“好问题如同蘑菇，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个[1]”.通过变式训练，不但进一步巩固了基本知识、基本思想、基本方法，还能提高综合解题、灵活解题和创新解题的能力，锤炼了思维的求异性、发散性、广阔性和深刻性[2]，这对提高解题效益无疑大有裨益，希望读者在解题后能认真思考，努力尝试.

参考文献：

[1]波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2008.

（收稿日期：2019-07-27）