借助二次函数求几何最值

何智　刘伟

摘 要：借助二次函数求有关几何的最值问题，一是要选定一个变化的未知量作为自变量，并明确它的取值范围;二是要判定所转化出的二次函数在取最大值或最小值时的自变量是否在所确定的自变量的范围里，若不在，就要用二次函数在对称轴两边的增减性求最值.

关键词：二次函数;几何最值;注意两点

作者简介：何智（1977-），男，陕西南郑区人，本科，中学一级教师.研究方向：初中数学教学;

刘伟（1982-），男，陕西南郑区人，本科，中学一级教师.研究方向：初中数学教学.

对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说：当a>0（a<0）时，函数图象开口向上（下），其对称轴x0=-b2a.当x=x0时，函数值有最小（大）值;当x的取值在对称轴x0=-b2a的左侧时，y随x的增大而减小（增大）;当x的取值在对称轴x0=-b2a的右侧时，y随x的增大而增大（减小）.下面谈谈利用二次函数的性质求几何最值.

例1 如图2，在ABCD中，AB=5，BC=10，sinB=45，点E，F分别是BC，AB上的点，连接DE，EF，DF，且EF⊥AB，则ΔDEF面积的最大值为.

解 设BF=x（0

因为AB=5，BC=10，sinB=45，EF⊥AB，所以EF=43x，BE=53x，AH=4，BG=6，CG=8.

则CE=10-53x.

所以SΔDEF=SABCD-SΔBEF-SΔCDE-SΔADF

=40-12x·43x-12（10-53x）×4-12（5-x）×8

=-23x2+223x

=-23（x-112）2+1216.

因为-23<0，0

例2 如图4，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且AF⊥EF，则AE的最小值为.

解 设CF=x（0

因为四边形ABCD是正方形，且AF⊥EF，

所以ΔADF∽ΔFCE.

所以ADCF=DFCE.

所以CE=（3-x）·x3.

由于AB为定值，在Rt△ABE中，要使AE最小，则需要BE最小，即只要CE最大即可.

因为CE=-13（x-32）2+34，又因为-13<0且0

所以由勾股定理可得AE的最小值为154.

例3 如图5，等边△ABC的边长为3+3.

（1）正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上.在等边△ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）;

（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长;

（3）如图6，在等边△ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由.

解 （1）如图5，正方形E′F′P′N′即为所求.

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x.

因为△ABC为等边三角形，

所以AE′=BF′=33x.

则x+2 33x=3+3，解得x=9+3 32 3+3=3 3-3.

（3）如图6，设正方形DEMN，正方形EFPH的边长分别为m，n（不妨设m≥n），它们的面积和为S.

则AD=33m，BF=33n.

则33m+m+n+33n=3+3，即m+n=3.

所以S=m2+n2=2（m-32）2+92.

则当m=32时，S最小=92.

由开口方向向上的抛物线性质可知：当m离对称轴m=32越远，则S的值越大.

由（2）知，m最大值为3 3-3.

所以S最大=2（3 3-3-32）2+92=99-54 3.

借助二次函数求几何最值问题，要特别注意两点：一是要选定与设出一个变化的未知量作为自变量，并要明确它的取值范围;二是要判定二次函数在取最大值或最小值时的自变量是否在所设的自变量的范围里面.若在，这就是所求的几何问题中的最大值或最小值;若不在，就要利用二次函数在对称轴两边的增减性求最大值或最小值.

参考文献：

[1]武泽涛.中考试题研究·数学：配陕西地区使用[M].西安：陕西科学技术出版社，2018.

[2]陕西省教育厅教学研究室.陕西省2019年初中畢业学业考试说明[M].西安：陕西师范大学出版总社，2019.

（收稿日期：2019-07-14）