思路指引 解法生成

摘 要：本文以一道联考压轴题为例，从不同角度引导学生思考与探索，生成了不同的解法，拓展了学生的解题思路，提升了学生的解题技能.

关键词：联考压轴题;思路引导;解法探究

作者简介：韩敬（1977-），男，安徽定远人，本科，中学高级教师，研究方向：课堂优化教学研究.

笔者所在学校的联考试卷的压轴题以正方形为背景，考查正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线等知识.批阅试卷后，统计发现第（2）、（3）问得分率极低.为此，笔者安排了一节课， 引导学生从不同的角度去思考，生成了不同的解法，达到了较好的教学效果.现整理成文，供参考.

1 题目呈现

题目 如图1，点M是正方形ABCD边BC上一點（点M不与点C，B重合），点E在线段AM上，且DA=DE，∠CDE的平分线交AM延长线于点F，交BC于点N.

（1）求证：∠AFD=45°;

（2）写出线段BF，DF和AF之间的数量关系，并证明;

（3）若正方形ABCD的边长为3，点E恰为AM的中点，则BN=.

2 解法指引

2.1 第（1）问的解法思路

师：从结论入手，要证∠AFD=45°，结合正方形的性质，45°角与什么特殊角有关联？由45°角，你能想到什么图形？

生1： 45°是90°的一半（生1给出了解法1）.

生2：等腰直角三角形的两个锐角都是45°.

师（追问生2）： “∠AFD=45°”所在的三角形是等腰直角三角形吗？

生2：不是.

师：我们怎么办？

生2：构造一个等腰直角三角形（生2给出了解法2）.

解法1 由正方形ABCD，得∠ADC=90°.

因为DA=DE，

所以∠AED=∠EAD=180°-∠ADE2.

因为DF平分∠CDE，

所以∠FDE =12∠CDE=90°-∠ADE2.

所以∠AFD=∠AED-∠FDE=180°-∠ADE2-90°-∠ADE2=45°.

解法2 如图2，过点D作DG⊥AF于点G，由正方形ABCD，得∠ADC=90°.

因为DA=AE，所以∠EDG=12∠ADE.

因为DF平分∠CDE，所以∠FDE =12∠CDE.

所以∠FDG=∠EDG+∠FDE =12（∠ADE+∠CDE）=12∠ADC=45°.

因为DG⊥AF，所以∠AFD=90°-∠FDG =45°.

2.2 第（2）问的解法思路

师：解决“零散” 的三条线段之间的关系，我们有哪些经验与方法？

生3：把三条线段转化到一个三角形中，可以利用平移、旋转、轴对称来转化.

师：对，我们常用图形三大变换来转化.本题用哪一种变换呢？

生3：用旋转，也就是把△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADH，但是不能证明H，D，F三点在同一条直线上.

生4：构造全等三角形可以证明（生4给出了解法1）.

师：如果我们学过圆的知识，利用旋转可以证明（师顺势给出了解法2）.

解法1 如图3，过点A作AH⊥AF，交FD延长线于点H，由（1）知∠AFD=45°，易知∠AFH=∠H=45°.

所以AF=AH.

由正方形ABCD，得AB=AD，∠BAD=90°.

即∠FAD+∠BAF=90°.

因为AH⊥AF，所以∠FAD+∠DAH=90°.

可得∠BAF=∠DAH.

所以△ABF≌△ADH.

所以BF=DH.

在Rt△AFH中， AF2+AH2=FH2.

可得2AF2=FH2，即2AF2=（BF+DF）2.

所以BF+DF=2AF.

解法2 如图4，连接BD，由正方形ABCD，得AB=AD，∠ABD=∠ADB =45°.

由（1）知∠AFD=45°，所以∠ABD=∠AFD.

所以A，B，F，D四点共圆.

所以∠ABF+∠ADF=180°.

把△ABF绕点A逆时针旋转90°得△ADH，可知∠FAH =90°，AF=AH，∠ADH =∠ABF .

从而∠ADH +∠ADF=180°，即H，D，F三点共线.

在Rt△AHF中，AF2+AH2=FH2.

即2AF2=（HD+DF）2=（BF+DF）2.

所以BF+DF=2AF.

2.3 第（3）问的解法思路

师：条件中有 “点E为AM的中点”，由中点你想到哪些相关的方法与结论呢？

生4： 联想到“倍长”中线法、三角形中位线定理，如果是直角三角形斜边的中点，想到直角三角形斜边中线的性质.

解法1 如图5，延长DE交CB的延长线于点I，易知△ADE≌△MIE，可得DE=IE，∠ADE=∠I.

连接NE，由正方形ABCD，得∠C=90°.

因为DF平分∠CDE，所以∠CDN=∠EDN.

因为DN是公共边，所以△DCN≌△DEN.

所以∠DEN=∠C=90°，即NE⊥DI.

又DE=IE，所以DN=IN.

所以∠NDE=∠I，可得∠ADE=∠NDE.

又因为∠CDN=∠NDE，

所以∠CDN=∠NDE =∠ADE=30°.