探究坐标系与参数方程的解题策略

东莞市第六高级中学(523420)安 娜

在全国卷中,最后一道选做题是在“坐标系与参数方程”和“不等式选讲”两题中任选一道题,从近几年学生的选择来看,大部分学生都会选择“坐标系与参数方程”.因此本文将对“坐标系与参数方程”的求解策略进行探究.此类题的难点在于学生接触极坐标与参数方程的时间较短,对基础知识掌握不到位,因此将此类题进行归纳分类,帮助学生建立知识脉络,可降低学生解决问题的难度.

1 高考真题再现

(2018年全国I 卷22 题)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+ 2 .以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

分析第(1)问比较简单,利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,可 把ρ2+ 2ρcosθ -3=0 转 化 为(x+ 1)2+y2=4 .第(2)问中,难点在与曲线C1的方程为y=k|x|+2 中,x有绝对值,所以对x进行分类讨论,曲线C1实际是两条关于y对称的两条射线构成的曲线,即由(1)可知曲线C2是圆心为(-1,0),半径为2 的圆,不妨设y轴右侧的射线为l1:y=kx+2,左侧的射线为l2:y=-kx+2.由于曲线C1的定点P(0,2)在圆C2外,故C1与C2有两个公共点,等价于l1与C2有一个公共点,l2与C2有两个公共点,或者l1与C2有两个公共点,l2与C2有一个公共点.当l1与C2有一个公共点时,圆心到l2的距离为2,可求出k=0 或,当时,满足l1与C2有一个公共点,l2与C2有两个公共点;当l2与C2有一个公共点时,圆心到l2的距离为2,可求出k=0 或,不满足l1与C2有两个公共点.所以,曲线C1的方程为

2 由高考题引发的思考

2018年全国I 卷22 题第(1)问考查了转化思想,第(2)问考查了分类讨论的思想,利用直线与圆相切,点到线的距离等于半径,进而求出k的值,再用另一条射线验证是否与圆C2有两个公共点,对最后的解进行取舍.此题完全是在直角坐标系下,利用直角坐标方程解决问题的.但在坐标系与参数方程的题目中会应用到一种思想,两种坐标系,三种方程,四种题型.以下是由这道高考引发的思考总结.

2.1 一种思想

坐标系与参数方程包含的知识点主要是直角坐标、极坐标、参数方程,解题过程中渗透着一种思想,即转化思想,直角坐标方程与极坐标方程的转化,普通方程与参数方程的转化.需要记忆的公式有ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2.及几个特殊的曲线的参数方程,如圆、椭圆、直线的参数方程.把参数方程转化为普通方程实则是“消参”(消掉参数)的过程.转化思想是高中数学中的一种重要思想,在坐标系与参数方程中直接体现在高考题的第(1)问中.

2.2 两种坐标系

坐标系与参数方程的题目中会涉及到两种坐标系,即直角坐标系与极坐标系,极坐标系是直角坐标系的一部分,因此在做题过程中,两种坐标系可画在同一坐标系下.主要目的是利用直角坐标系下的图形,解决极坐标系下的问题,让学生更直观的感受图形.

2.3 三种方程

坐标系与参数方程的题目一般会用到三种方程,即直角坐标方程(普通方程)、极坐标方程、参数方程,题型的设置是三种方程的转化,利用1 中的公式即可,难度较低.

2.4 四种题型

根据近几年高考题的分析,第(2)问可将坐标系与参数方程归纳为四种题型,每一种题型对应相应的解决方法,帮助学生在解决问题时形成知识脉络.

2.4.1 利用直角坐标系

直角坐标系是学生较为熟悉的坐标系,把极坐标方程转化为直角坐标方程,参数方程转化为普通方程,利用图形的几何性质解决问题,可降低思维的难度.

例1在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为圆C的极坐标方程为ρ=4 cosθ+2 sinθ.

(1)求直线l和圆C的直角坐标方程;

(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求弦AB的长.

解(1)直线l的直角坐标方程为圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)由(x-2)2+(y-1)2=5 可知圆心为C(2,1),半径r=所以圆心C到直线l的距离所以故弦AB的长为

此题第(2)问是求|AB|的长度,题目的背景是直线与圆相交,求弦长问题,此题用几何法最简单,因为一半的弦与圆心到直线的距离和半径构成直角三角形,利用勾股定理的公式,可求出弦长.

例2已知直线l的参数方程是(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρsin2θ-6 cosθ=0.

(1)求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程;

(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求|MN|的值.

解(1)曲线C的直角坐标方程为y2=6x.直线l的极坐标方程为

(2)方法一：由题可判断抛物线y2=6x的焦点,F点刚好在直线l上,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义可知,所以|MN|=x1+x2+3,联立得Δ=16＞0.所以x1+x2=5 ,即|MN|=8,所以|MN|的值为8.

此题的第(2)也是求|MN|的长度问题,但是题目的背景是抛物线与直线相交,如果该直线过抛物线的焦点F,那么|MN|=|MF|+|NF|,根据抛物线的定义可知,所以|MN|=x1+x2+p,利用韦达定理可求出x1+x2的值.如果抛物线不过焦点F,可利用直线与曲线相交的弦长公式或者同样要利用韦达定理.

2.4.2 利用直线参数方程中t的几何意义

例1已知在平面直角坐标系xoy中,以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方 程 为ρ2(3+sin2θ)=12 ,曲 线C2的 参 数 方 程 为(t为参数),

(1)求曲线C1的直角坐标方程,并判断该曲线是什么曲线;

(2)设曲线C2与曲线C1的交点为A,B,P(1,0),当时,求cosα的值.

解(1)由ρ2(3+sin2θ)=12,得,则曲线C1为椭圆.

此题中,t1·t2＜0,t1+t2＜0,所以t1,t2一正一负,_则需要利用公式|t1|+|t2|=|t1-t2|=再利用韦达定理求出t1+t2和t1·t2的值.

例2在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ,(a ＞0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于M、N两点.

(1)写出曲线C和直线l的普通方程;

(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.

解(1)C:y2=2ax,l:x-y-2=0.

(2)l:(T为参数)代入C得T2-+ 32 + 8a=0.因为a ＞0,所以T1+T2＞0,T1T2＞0,所以T1＞0,T2＞0.又|PM|=|T1|,|PN|=|T2|,|MN|=|T1-T2|,由题意知,|T1-T2|2=|T1T2|,所以(T1+T2)2+5T1T2,由韦达定理代入得a=1 或a=-4.

此题第(2)问也需要利用t的几何意义,但是要注意直线的参数方程必须是标准的参数方程,t才有几何意义,所以此题首先要写出直线l的标准参数方程,由题可确定定点P(-2,-4),倾斜角为所以直线l的标准参数方程为(t为参数).因此对于直线的标准参数方程模型要熟记,并且能够迅速判断参数方程是否标准,判断的标准可分为三点,第一、参数t; 第二、t的系数在(-1,1)之间;第三、t的两个系数的平方为1.满足以上三点,即为标准的参数方程.

2.4.3 利用极坐标系

学生对直角坐标系接触的时间较长,因此做题时习惯性喜欢用直角坐标方程,但有些题型在极坐标系下,利用极坐标方程会更简单、易操作.

例1在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数).以o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ,(a ＞0),且曲线C与直线l有且仅有一个公共点.

(1)求a的值;

(2)设A,B为曲线C上的两点,且求|OA|+|OB|的最大值.

解(1)直线l的普通方程是,曲线C的直角坐标方程是(x-a)2+y2=a2,(a ＞0).依题意直线l与圆相切,则圆心(a,0)到直线l的距离解得a=-3 或a=1,因为a ＞0,所以a=1.

(2)如图1,不妨设A(ρ1,θ),,可得θ ∈

图1

则ρ1=2 cosθ,ρ2=2 cos,|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2 cosθ+ 2 cos=,因 为所 以,所以当,即时,|OA|+|OB|取得最大值,最大值是

例2在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为：(θ为参数,θ ∈[0,π]),将曲线C1经过伸缩变换：得到曲线C2.

(1)以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求C2的极坐标方程;

(2)若直线l:(t为参数)与C1,C2相交于A,B两点,且,求α的值.

解(1)C1的普通方程为x2+y2=1(y ≥0),C2的方程为,所以C2的极坐标方程为

(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程 为θ=α(ρ ∈R),由,得ρA=1 ,由,得而,所以而α ∈[0,π],所以或

此题的思路的思路和例1 类似,因为A,B两点是直线与圆和椭圆的焦点,,直线过原点,A,B两点的长度在极坐标下可以用|OB|-|OA|来表示,两端长度在极坐标系可分别用两点A,B两点极径来表示,解题过程简单易算.

2.4.4 利用参数方程转化为三角函数求值域

在坐标系与参数方程的题目中,经常会出现求最大值最小值的问题,或者已知最大值、最小值求字母参数的范围问题.此类问题通常利用参数方程转化成三角函数求值域的问题.

例1已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).

(1)写出直线l与曲线C的直角坐标方程;

(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′,设曲线C′上任一点为M(x,y),求的最小值.

解(1)直线l:,曲线C:x2+y2=1.

例2[2017•全国卷I]在直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(l为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.

解(1)曲线C的普通方程为.直线l的普通方程为x+ 4y -3=0 .从而C与l的交点坐标为

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3 cosθ,sinθ)到l的距离当a ≥-4 时,d的最大值为,由题设得所以a=8;当a ＜-4 时,d的最大值为,由题设得,所以a=-16.综上,a=8 或a=-16.