Hawgent环境下基于APOS理论的数学概念教学设计*——以“指数函数”为例

广西师范大学数学与统计学院(541006)王亚婷 周 莹

一、问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出：“数学教育要提升学生的数学素养,引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”[1].可见,现代社会的教育要求不再是传统的传授式教学,而是要让学生学会学习与思考,以理解数学本质.然而,现在的课堂还是以灌输式教学为主,教学实践依旧只注重学习结果,不注重过程的体验,导致学生缺乏主动构建知识的能力与实践.基于此,探究数学教学如何引导学生自主建构、生成知识,是亟待解决的教育研究问题.在20 世纪80年代,美国数学家杜宾斯基提出一种具有数学学科特色的建构主义学习理论-APOS,认为知识的建构过程需要经历活动、过程、对象和图式四个阶段.本文基于APOS 理论,借助Hawgent 动态软件探究函数性质,动态展现数学对象生成的全过程,提升学生对数学本质的理解,以期实现学生自主建构知识与自主学习,同时为指数函数的概念教学提供参考.

二、APOS 的概念教学阶段与Hawgent 的应用

在指数函数的概念及其性质的教学中,以APOS 理论[2][3]中的四阶段为主线设计教学,借助Hawgent 动态软件,展示随着底数a不断变化的指数函数图象,启发引导学生自主探究指数函数性质,解决实际问题,提升数学素养,发展思维能力,对于学生理解和应用指数函数的性质有事半功倍之效.

活动(Action)阶段是数学概念建构的起点,旨在使学生通过一系列外显性的指令改变数学对象,即通过活动让学生亲身体验,感受概念的直观背景.培养学生用数学的眼光观察世界.

过程(Process)阶段是概念学习的关键,是对外显数学活动的进一步加工,在老师的启发引导下,学生经历了思维的内化和融合,能够抽象出概念所特有的性质以培养学生用数学的思维思考世界.在Hawgent 环境下,让学生给底数a自由赋值,探索底数a的范围.

对象(Object)阶段通过情境导入,抽象出概念的本质,并给予形式化的定义及符号,使其达到精确化,最终成为一个具体的数学对象,形成一个“实体”.在这一阶段,不仅可以具体的指明它所具有的各种性质,也可以以此为对象去实施各种特定的数学演算进而培养学生用数学的语言表达世界.Hawgent 环境下,通过变更底数的值引导学生发现指数函数的性质.

图式(Schema)阶段是学生在活动、过程、对象的基础上,结合原有的相关方面的图式进行相应的整合后,所产生的新的图式结构.这一阶段可建立概念间的联系,以建立新的认知结构.在这里,通过Hawgent 展示函数图象上的动点来解决实际问题,帮助学生建立新的图式,如：函数的单调性可用来比较指数函数值的大小,能够帮助学生理解同底不同幂、同幂不同底时的大小关系.上述4 个阶段与本文教学之间的关系如图1所示：

图1 APOS 理论的4 个阶段

三、指数函数的教学设计

依据《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求,要设置具体情境,使学生了解指数函数的实际意义及其概念；能用描点法或计算机软件画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点[1].

(一)内容分析

“指数函数”是普通高中课程标准教科书数学A 版必修一4.2 节的内容,作为基本初等函数之一,不仅可以增进学生对函数概念的理解,还对后续其他函数的学习有一定的促进作用.本节课蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法,对学生的数学学习大有裨益,重点是指数函数的概念及其性质,难点是用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数性质.

(二)教学过程与设计意图

1.感受活动情境 体验函数生成

由APOS 理论可知,活动阶段是数学概念建构的起点,要通过活动、操作让学生亲身体验,感受概念的直观背景,以培养学生用数学的眼光观察世界.基于此,创设如下教学环节.

首先,创设如下两个教学情境,并引导学生得出关系式：

情境1：随着人民生活水平不断提高,旅游成为人们的重要出行方式.由于旅游人数的不断增价,A、B 两景区采取了不同的应对措施,即A 地区提高了门票价格,B 地区则取消了门票,通过数据显示,推导得出经过年数x与游客人次y之间的关系为y=1.11x(x ∈[0,+∞)).

情境2：当生物死亡后,它机体内原有的碳14 含量会以一定的衰减率衰减,经过半衰期后衰减为原来的一半,按照这种变化规律,生物体内碳14 含量P与死亡年数t之间的关系：

接着,引导学生进行探究：两个函数解析式有什么共同特征?

设计意图在活动阶段,从学生的最近发展区出发,利用数学的眼光发现问题,借助生活情境开始新课,通过探究两个解析式的异同点,引导学生将两个函数抽离实际背景,即得到y=1.11x和再引导学生抽象出指数函数的解析式,可以发现二者形式相同,但底数取值不同.此时启发学生,若用一个字母代替底数,即可得到y=ax这一函数,完成学生对指数函数概念的初步构建.

2.体验探究过程 内化函数概念

根据APOS 理论,过程阶段是概念学习的关键,是对外显数学活动的进一步加工,让学生经历思维的内化,通过逻辑推理得出数学结论,用数学的思维思考世界,最终抽象出概念所特有的性质.基于上述理论指导及思考,创设如下探究环节.

首先,教师启发引导学生自主探索：你能够结合上述两个实际情境,对比所得指数函数解析式,任意给出一个指数函数吗?

接着,学生通过模仿,给底数a任意赋值,得到不同的“指数函数”,此时,借助Hawgent 快速做出函数图象,教师予以适时引导,使学生经历思维的内化,找到临界点,得出底数a的范围.如图2,可以看出,当a=0 时,当且仅当x ＞0 时,ax恒等于0,此时图象与x轴正半轴重合,但无研究价值,当x ＜0 时,ax无意义；当a=1 时,y=1 为常函数,图象与x轴平行；当a ＜0 时,例如当a=-1 时,图象不存在,即无研究价值.经过多次赋值及交流讨论,得出临界点为0 和1.

最后得出当且仅当底数a满足a ＞0,且a1 时,指数函数才有研究价值.

图2 探究底数a 的范围

图3 关于轴对称的指数函数图象

设计意图过程阶段是对概念的深度加工,在教师的引导下,让学生在“做”中学、“做”中思、“做”中悟.借助Hawgent 进行多次任意赋值,使学生经历思维的碰撞,实现自主猜想与验证,并在成功与失败中获得新知,以培养学生自主探究与合作交流的学习习惯；此外,通过追踪同一个指数函数图象,得出指数函数中底数a的范围,以弥补教科书中灌输式教学的不足.

3.构造对象实体 掌握函数性质

在APOS 理论中,对象阶段用于给予形式化的定义及符号,使之成为一个具体的数学对象,以此培养学生用数学的语言表达世界,再通过Hawgent 数形结合,以探究具体性质.基于上述理论指导及思考,设计如下教学环节.

首先,通过一系列的操作与交流讨论,在教师的适时引导下,师生用数学语言表征指数函数,给出定义：一般地,函数y=ax(a ＞0 且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.然后,小试牛刀,判断下列函数哪些是指数函数,并总结指数函数的判定条件.

练习

接着,在掌握了指数函数概念的基础上,借助Hawgent引导学生用函数的观点去寻找指数函数的性质.将全班同学分为两组,令一组同学用描点法画出y=2x的图象,另一组画出的图象,小组交流讨论二者图象关系.在Hawgent 环境下,图3所示,通过移动两图象上的动点,引导学生观察坐标的变化,发现当两底数互为倒数时,二者函数图象关于y轴对称.

图4 若干个底数不同的函数图象

最后,在学生发现y=2x与之间的对称关系后,继续追问学生当底数a换作其他值时是否也有这样的关系.此时,先让学生进行猜想,随后再借助Hawgent 展示若干个不同底数的图象,由教师引导学生观察图象特征和底数a之间的关系,图4所示,从具体的指数函数抽象到一般的指数函数,通过观察与思考交流之后,发现性质,填写表1.

设计意图在活动、过程阶段为对象阶段定义的引出埋下伏笔,从具体的实例抽象出一般数学概念,层层深入,实现了用数学语言表达世界,对指数函数概念有了深度理解.通过分组描点作图,使学生合作交流,在巩固旧知的基础上,提升学生的操作能力.借助Hawgent 动态软件优化教学内容的呈现方式,作图精准无误,数形结合,有助于提高教学效率；探究指数函数特性,形象直观,促进学生对数学本质的理解.这一阶段能够突出教学重点、破解教学难点、抓住教学关键点,对于提升学生的数学素养有极大的帮助.

表1 指数函数性质表

4.建立深层图式 解决实际问题

根据APOS 理论,图式阶段通过解决实际问题,建立指数函数及其他概念间的联系,以完善函数概念的认知图式.这一阶段是对“三会”的综合体现,将生活问题数学化、逻辑化、符号化,以更好的解决实际问题.据此,创设如下例题.

例1已知指数函数f(x)=ax(a ＞0 且a1)的图象经过点(3,π),求f(0),f(1),f(-3)的值.

设计意图从数学逻辑出发,由函数三要素可知,要求函数值,先求出指数函数f(x)=ax的解析式,也就是要先求a值,根据已知条件,利用待定系数法使学生进一步体会指数函数间的对应关系,在原有的认知图式中加入指数函数的求值运算.

例2比较下列两个函数值的大小：

(1)1.70.5,1.71.5(2)0.8-0.2,0.81.5(3)1.70.5,0.91.9

图5 比较函数值大小

图6 比较函数值大小

图7 比较函数值大小

设计意图比较函数值大小是对指数函数概念及其性质的一大应用,要比较函数值大小可利用函数单调性及其图象进行判断,借助Hawgent 作图,图5-7 所示,通过移动图上动点,根据坐标值判断大小,方便快捷直观,使学生进一步理解同底不同幂、不同底不同幂时的大小关系,体会指数函数的单调性,在原有认知图式中建立指数函数与函数单调性间的联系.

例3截止到1999年底,我国人口约13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?

设计意图数学知识的学习最终还要落实到应用,这道题意在建立指数函数增长模型——形如y=kax(k ∈R,且k0;a ＞0 且a1)的指数型函数,以解决实际问题.在原有的认知图式中增加指数函数模型,对这一生活情境符号化,让学生进一步体会指数函数的实用性.

设计意图由上述三道例题可以看出知识之间是相互联系的,图式阶段就是通过例题的应用来引导学生,在原有的认知图式基础上不断思考,以建立概念间的联系,这一阶段不是一次就能完成的.在Hawgent 环境下,动态展示函数图象,利用函数单调性比较例2 中函数值的大小,帮助学生理解同底不同幂、不同底不同幂时的大小关系；展示例3 中的指数型函数,形成新的图式,使学生建立概念间的联系,以更好地把握指数函数的相关概念及其性质.

四、教学设计反思

在APOS 理论4 阶段的指引下对指数函数进行教学设计,从数学学习心理学角度来看,4 阶段层层递进,能够表征学生对数学概念学习的层次性；逐层深入,能够反映学生在概念学习时的思维活动,体现学生从具体到一般建构心理图式的全过程.在Hawgent 环境下,得以优化教学方式,追踪指数函数动态变化的过程,作出不同底数的指数函数图象,数形结合,利用图象上的动点,解决实际问题,增强学生应用数学的意识,展现了数学的应用价值,改善了传统教学手工绘图耗时长、不精确等问题,能够直观感受指数函数的图象美；且教学过程中以学生为主,教师为辅,注重对学生“三会”的培养以及知识体系的构建.

在活动阶段,注重学生思维的锻炼及指数函数生成的过程,设置情境激发学生的兴趣,为学生指数函数模型的构建奠定了基础；在过程阶段,通过教师引导对指数函数概念进行深度理解,明确指数函数的定义域及其底数a的范围,对指数函数概念有整体的把握；在对象阶段,对指数函数符号化,通过Hawgent 做出图象探究性质,数形结合,引导学生发现规律；在图式阶段,构建概念间的联系,建立新的图式,注重应用指数函数解决实际问题.总体看来,基于APOS 理论指导指数函数概念教学能够促进学生构建深层图式,形成概念体系,在Hawgent 辅助下,四个阶段环环相扣,学生对指数函数的理解不断提升,使教师对学生不仅授之以鱼,更授之以渔.