几何思维水平理论视角下的2019广东省中考题分析

华南师范大学数学科学学院(510631)肖琳莉 刘秀湘

“图形与几何”是我国《义务教育数学课程标准(2011版)》中四大课程板块内容之一,义务课标(2011 版)中提出：“在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.”几何在培养学生的空间观念、几何直观、推理能力等数学素养具有不可替代的作用,自然也成为了历年中考试题的考查重点、难点.基于范希尔几何思维水平理论的视角对中考几何试题进行分析,对于挖掘命题意图、把握命题趋势并开展有效的教学具有积极意义.下面以范希尔几何思维水平理论为依据,对2019年广东省中考数学试题中的几何题进行分析,旨在从中获得教学启示.

一、试题组成

广东省21 个地市中,广州市采用《2019 广州市初中毕业生学业考试》(下面简称广州卷),有10 道选择题、6 道填空题、9 道解答题,满分为150 分;深圳市采用《2019年深圳市中考数学试卷》(下面简称深圳卷),有12 道选择题、4 道填空题、7 道解答题,满分为100 分;其他市均采用《2019年广东省初中学业水平考试》(下面简称广东卷),有10 道选择题、6道填空题、9 道解答题,满分为120 分,因此共有3 份试卷.表1是3 份试卷中的几何试题概况一览表.

表1 广东省2019年中考卷几何试题概况

由表1可知,无论是从题型分布、题量还是从分值上看,几何内容都在中考试卷中占据着重要地位.三份试卷在几何题目分布上略有区别,广州卷几何题目在选择题与解答题分布相当,多于填空题;深圳卷集中在选择题中考查几何内容;广东卷则分布均匀;在几何题目数量上相差不大,在8 道～10 道之间;在几何题目分值占比上差异也不大,其中广州卷与广东卷十分接近,深圳卷略少.

二、试题的几何思维水平

范希尔将学生的几何思维水平划分为5 个层次,依次是水平1——视觉、水平2——分析、水平3——非形式化演绎、水平4——形式化演绎、水平5——严密性[1].由于现有的初中几何内容都处于欧式几何体系下,不涉及水平5 的考查,范希尔理论不能直接应用于几何试题的分析,并且部分几何试题体现综合性考查,因此本文基于以上考虑,结合范希尔理论相关研究并对各指标进行细化[1][2][3][4][5],构建了表2所示的范希尔理论用于数学试题几何思维水平的定位框架.

表2 范希尔理论用于数学试题几何思维水平的定位

图1 中考试卷几何试题的几何思维水平分布

试题分析的标准是选择题与填空题以涉及的最高水平记,解答题有多个小问的分别按各小题的最高水平记,再计算各水平的试题分值占几何总分值的比重.图1为3 份中考试卷几何试题的几何思维水平分布.

由图1可知,三份中考卷试题在水平1 至水平4 均有分布但在分布上差异较大,重在考查水平2、3、4.广州卷几何试题分值比重随几何思维水平的提升而增加,高思维水平(水平3 与水平4)试题分值占比达到69.49%,比平均占比高出7.71%;深圳卷对水平3 考查最多,水平2 与水平4 次之,并且相较于其他两份试卷水平1 占有较大的比重;广东卷对水平2 与水平3 考查相对平均,水平4 的占比略小;平均来看,试题考查的几何思维水平以水平3 居多,水平4 次之,水平1最少,可见中考试题对于学生推理论证能力、综合运用能力有较高要求.

三、试题特点分析

3.1 基础性与综合性相结合

3 份试卷既不乏综合性强的几何试题,如广州卷第16 题与第24 题、深圳卷第23 题(压轴题)、广东卷第24 题;但也注重对基础知识的考查,如广州卷第11 题直接考查点到直线的距离定义;深圳卷第7 题考查角平分线的性质;广东卷考查邻补角概念.

3.2 直观想象与推理论证并重

3 份试题对于推理论证能力的重视从水平3 及水平4 试题的分值比重高于水平1 与水平2 可见一斑.尽管水平1、2的试题对于初中毕业学生来说是容易的,但水平1 所涉及的直观想象能力与空间想象能力同样是学生不可或缺的几何素养.3 份试题对水平1、2 均有考查但侧重点不一,如深圳卷第4 题考查了正方体的展开图;广东卷第5 题考查了学生对于轴对称、中心对称图形的辨认;广州卷第15 题考查了圆锥的正视图.

3.3 难度梯次设置基本合理

根据范希尔理论,学生几何思维水平具有次序性,即思维水平的发展是循序渐进的,要在特定的水平顺利发展,必须掌握前一个水平的的各个概念和策略[1].通过具体的分析可知虽然三份试卷各思维水平试题分值占比不一,但基本上仍保持着难度梯次设置的合理性,这也遵循了学生几何思维发展的特点.如广州卷与广东卷第24 题设置了3 个小问,各小问的几何思维水平递增;深圳卷选择题中的几何内容占据了“半壁江山”,由浅入深考查了学生水平1 至水平3.

四、典型试题分析

例1(深圳卷第8 题)如图2,AB=AC,AB=5,BC=3,以AB两点为圆心,大于的长为半径画圆弧,两弧相交于点M、N,连接MN与AC相交于点D,则△BDC的周长为( )

A.8 B.10 C.11 D.13

试题剖析本题不同于以往直接考查学生线段垂直平分线的基本作图能力,而是给出直线MN的作法,学生需要识别出这样作出的直线MN是线段AB的垂直平分线,进行利用垂直平分线的性质将线段DB长度进行等量代换.

例2 (广东卷第16 题)如图3所示是一个轴对称图形,且每个角都是直角,长度如图所示,小明按图4所示方法玩拼图游戏,两个相扣,相互间不留空隙,那么小明用9 个这样的图形(图3)拼出来的图形总长度是多少___(结果用含a、b的代数式表示).

图3

图4

试题剖析本题考查图形规律探索,解题关键在于对图形合理拆分、组合找到计算规律,再用代数式表示出来.对图形进行拆分、组合的方式有多种,试题开放性强.

例3(广州卷第24 题)如图5,等边△ABC中,AB=6 ,点D在BC上,BD=4,点E为边AC一动点(不与点C重合),△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.

图5

(1)当点F在AC上时,求证：DF//AB;

(2)设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为S2,记S=S1- S2,S是否存在最大值; 若存在,求出S的最大值;若不存在,请说明理由.

(3)当B、F、E三点共线时,求AE的长.

试题剖析本题是综合性很强的一道题目,考查的知识点涵盖了等边三角形、轴对称、勾股定理、锐角三角函数、动点、“隐圆”等,题目设置了3 个小问,涉及到的几何思维水平从水平2 递增到水平4,这也为学生正确而完整地解答出本题起到了铺垫作用.第1 小问考查学生沟通“已知”与“求证”进行推理论证的能力;第2 小问考查学生转化与化归的数学思想,表面上虽是关于“面积差的最大值”问题,但结合图形分析便可转化为学生熟悉的“线段最短问题”进而求解;第3 小问方法多样,可构造直角三角形运用锐角三角函数求值也可依据翻折是全等变换找到解题突破口.

五、若干教学启示

5.1 教会学生读图、识图、辨图

几何内容考查离不开图形,几何问题的“复杂”也常常源于图形的“复杂”,但一经仔细剖析发现复杂图形都是由若干基本图形复合而成的,解题的关键就在于能正确在复杂图形中将基本图形分解出来,或是通过合理添加辅助线显现出隐含的基本图形,从而使复杂的几何问题变得简明[7].因此,教师在日常的几何教学中应注重基本图形的教学,带领学生读图、识图、辨图.

5.2 开展探究式教学培养综合推理能力

中考卷中几何难题往往对学生综合推理能力有很高的要求,而综合推理能力的培养并非一朝一夕之功,这需要教师在课堂上多开展探究式教学,通过设置有探究趣味的问题情境并充分暴露自己的思考、推理过程,使学生亲历解答的形成过程并理解、内化.

5.3 以促进学生几何思维水平发展为几何教学的出发点和落脚点

范希尔理论自诞生起,便引起了全世界的广泛关注,并认为是有关学生的几何概念发展与学习的研究中最有影响的理论之一,按照范希尔理论的观点,学生的几何思维从一个水平向另一个水平的过渡不是平缓的,而要经历一个“思维的危机”[1].几何思维水平的高低与学生的几何成绩呈显著正相关[2][6],几何教学应以促进学生几何思维水平发展为出发点和落脚点,对处于不同水平的学生给予有针对性的教学措施帮助学生化解“思维的危机”向更高水平过渡.