圆锥曲线切线的一个定点伴随定直线的性质

安徽省合肥市第一中学 (230601) 偰永锋

圆锥曲线作为高中数学里非常重要的一个内容，有很多优美的性质.很多圆锥曲线试题，往往背后都蕴含着圆锥曲线一般性质.高考也往往从这些性质出发设计出优质的试题，这就要求我们不仅要教会学生解题，还要加强对问题背后原理的探究.

笔者在高三一轮复习教学圆锥曲线时，遇到一个蕴含了美妙的圆锥曲线切线性质的题目.

图1

题目如图1，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，若|PA|=3,

|PB|=4,则|PF|=.

记A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=2pt，y1y2=-2pn.又切线PA：y1y=p(x1+x)，PB：y2y=p(x2+x).

通过上述解题过程显然可以得到抛物线的切线有如下的性质：

性质1 过抛物线y2=2px的准线l上任意一点P作抛物线的切线PA、PB，切点分别为A、B，则切点弦AB恒过焦点F，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

上述结论的逆命题也成立.

性质2 过抛物线y2=2px的任意一条焦点弦AB的两个端点分别作抛物线的切线PA、PB，则两条切线的交点P在准线上，且有PA⊥PB，PF⊥AB.

这两条性质可以作出进一步推广.通过探究发现:改变弦AB所过定点M的位置，两条切线PA与PB不一定垂直，但它们的交点P还在定直线上.PM与AB也不一定垂直，但当AB斜率存在时，kPM·kAB为定值.

证明过程与上述问题解决过程类似，此处从略.

这个性质在椭圆和双曲线中还成立吗？经过探究发现仍然成立.于是，在椭圆中有

类似地，在双曲线中有

椭圆和双曲线中的性质及推广证明过程类似，下面证明推广3，其余从略.