例谈高中数学推理证明教学

上海南汇中学 (201399) 顾彦琼

“推理证明”的重要性在学习和生活中都有体现，考察一个猜想的结论并根据这种考察的结果来判断猜想是否可靠，这是一种典型的归纳方法.与日常生活中一样，在科学研究上我们对于一个猜想的信赖程度，会而且应该根据从其得出的可观察到的结果符合于事实程度的多少来判断.《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的图例，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.

从思维品质的角度认识逻辑推理素养.要特别关注上述表述所蕴含的数学本质及对人的思维的特定要求，即它是建立在数学逻辑推理基础上的思维，因为这种思维具有流动性、顺序性、传递性等特点.

案例1借助数学软件直观猜想

随着计算机及数学软件的发展，为数学提供检验猜想的工具，使我们的数学研究方式发生变化.在这个“做数学”或数学实验的过程中，不仅有计算或演绎，而且涉及观察、猜测、尝试、调控、估计、检验等多种方式，让学生感受、体会这些数学研究的基本方法将使他们终生受益.

在我们教师平时的新授课中运用几何画板和Geogebra等数学软件帮助教学已经成为常态，章建跃先生曾在访谈中提出，在教学中，很多教师会注重数学的“术”，而忽略数学的“道”，引发笔者思考，一是赞同章先生的见解，二是如何在教学中体现注重数学之道呢？2018年11月，笔者因工作需要，要准备一节展示课，抽中的课题是上海教育出版社高中一年级第一学期(试用本)79页至81页的《幂函数的性质与图像》.在查阅资料，备课磨课的过程中，笔者对第二个思考问题略有见解，因此形成此文想与各位同行一并分享讨论.

在众多的《幂函数的性质与图像》的教学设计及省市级展示课中，不论是什么教材版本，这一节内容的教学过程主要步骤大都为(1)教师示范研究，(2)学生合作探究，(3)师生得出结论.第一、二个环节基本相同，而在第三环节中体现了不同的处理方式.

(1)观察图像后得出y=xk(k为常数，k∈Q)，得出结论幂函数图像一定经过(1,1)点.当k>0时，在第一象限递增；当k<0时，在第一象限递减.

(2)观察图像后总结得到幂函数图像不经过第四象限，简单说明原因.

笔者认为紧扣教材，又灵活应用教材是教学的基本要素.上海教育出版社高中一年级第一学期(试用本)80页的原题是：

例3 已知幂函数f(x)=xm(m<0,m∈Q).

(1)求证：f(x)=xm在(0,+∞)上是减函数；

解:(1)任取x1,x2∈(0,+∞)，设0

说明：在此处值得商榷的是，由于本教材中对于不等式的乘方性质，只涉及到自然数集，此处m并非一定是自然数，因此证明在此处存在漏洞.

部分教师在展示多个幂函数图像后，学生猜想出了幂函数图像在第一象限的图像后就戛然而止，告一段落.笔者认为，这依然只是从数学直观上进行猜想，要进一步得到数学思维的训练，理应对所猜想的结论加以证明.由此也可以更合理地应用教材中的例题，而衔接上也更自然.

相关部分教学过程如下：

1.小组活动，合作探究

例2 以大组为单位每组研究一个幂函数的性质完成下列表格，并作出函数的图像

y=x3y=x12y=x-2y=x-12定义域值域奇偶性单调性

(图象略)

2.数学直观，猜想结论

小结：幂函数图像在第一象限的特点.(PPT投影)

(1)图像必过(1,1)点.

(2)k>0时，图像必过(0,0)点，且在(0,+∞)上是增函数.

(3)k<0时，在(0,+∞)上是减函数．

3.严格证明相关猜想

(同教材80页例3，略)

案例2借助列表对比归纳推理

数学表征概念(如一个特殊的公式或方程式、笛卡尔坐标上的一个图形等)不能孤立地理解，只有把它们融入更为宽泛的系统(意义和规则也已建立)中才产生意义.在整个系统中，内部存在着不同层次的结构，而且结构与结构之间紧密联系，即内部不同表征之间具有相互作用.

“子集与推出关系”是上海教育出版社高中教材的新增内容，这一节内容普遍被认为抽象难学，笔者在学习同行的公开课后，发现这样抽象的课也可以用启发式教学法来讲授，同时注重学生的逻辑推理能力的培养.

选取片断如下：

问题1用“⟹”、“⟸”填空：

(1)我是上海人我是中国人；

(2)x>5x>3；

(3)x2=1x=1.

(4)x·y>0x>0,y>0

问题2用“⊆”、“⊇”填空：

(1)A={x|x是上海人}，B={x|x是中国人}，AB；

(2)A={x|x>5},B={x|x>3},AB;

(3)A={x|x2=1},B={x|x=1},AB;

(4)A={(x,y)|x·y>0},B={(x,y)|x>0,y>0},AB.

集合间的包含关系与推出关系的等价性.

集合集合之间的关系集合性质的推出关系A={x|x是上海人}B={x|x是中国人}A⊆B我是上海人⇒我是中国人A={x|x>5}B={x|x>3}A⊆Bx>5⇒x>3A={x|x2=1}B={x|x=1}A⊇Bx2=1⇐x=1A={(x,y)|x·y>0}B={(x,y)|x>0,y>0}A⊇Bx·y>0⇐x>0,y>0

一般结论：

设A,B是非空集合，A={a|a具有性质α}，B={b|b具有性质β}，则A⊆B与α⟹β等价.

证明：(1)如果a1具有性质α，那么a1∈A，而A⊆B，所以a1∈B，因此a1具有性质β，即α⟹β.

(2)如果a1∈A，那么a1具有性质α，由α⟹β，可推得a1具有性质β，所以a1∈B，因此A⊆B.综上所述，A⊆B与α⟹β等价.

在教师提出用列表形式呈现子集和推出关系时，学生们马上清晰得出相应结论，这样的呈现方式，也给学生以列表对比找关联的启发，同时在猜想出结论后通过严格证明，培养了学生的理性思考的精神.

案例3建立数学模型推广一般结论

在平时的练习中，我们经常遇到相似问题，每一次解决起来都有些繁琐，有时一错再错，学生会向老师请求帮助“老师，这样的问题有更简便的做法吗？”数学学科在解题技巧上，讲究通性通法，而对同一类问题，我们也可以根据学生提出的一类问题是否有特殊的解决办法这样的问题，建立数学模型，推广到一般结论.案例如下：

一、引入课题

我们在作业中遇到过这样一道高考原题：

引例(2014安徽)若函数y=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，求a的值.

图1

思考：此题有几种做法．

(解法一)分类讨论、零点分段.

当a≥2时，f(x)=

当a<2时，f(x)=

图2

综上可知，a的值为-4或8.

(解法二)几何意义：距离之和.

解法一是此类问题的常规解法，不过解法二更加高效简洁，形象生动．将上述例题看作是2个绝对值相加的问题，那么如果改变题中绝对值的个数，如3个、4个……绝对值相加，问题的情形会发生哪些变化，它们的一般情况是什么样的呢？今天我们就这个问题做一个深入的探究．

二、建立模型的过程

我们把形如f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|,其中a1≤a2≤a3…≤an,x∈R的函数称作绝对值和函数．根据绝对值的几何意义，f(x)在其定义域上没有最大值，而有最小值，并且最小值处的自变量取值与函数中绝对值的零点ai,1≤i≤n有关．

问题分析：类似于例题的情况，当奇数个绝对值相加时，数的几何意义为数轴上的一点x到n个零点的距离之和．

模型检验：x0的选取与零点的个数n有关，与每个点之间的距离无关，特别的，当两点间的距离为0时，上述模型仍适用．

结语：逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.

在平常的教学活动中，挖掘教材的推理与证明的素材，找到试题中类比于猜想的相似问题，可以从教材和试题出发，以此为契机，培养学生在课堂上和练习中提升推理和证明的能力.