基于直观想象下的不等式选做题解法探究 *

广东省封开县江口中学 (526500) 黎伟初

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.探究图形解决不等式选做题，以培养学生的创新思维.高考题中的不等式选做题，通常是以与两个绝对值之和(差)或一个绝对值等有关联来命制，常见的题型有：①求不等式解集；②依恒成立、能成立(有解)、无解等条件，求出参数的取值范围；③涉及到不等式证明等.含一个绝对值或两个绝对值之和(差)的不等式的解法有多种，本文着重研究：通过构造函数图象的手段来处理(来自教材的构造函数法).含两个绝对值之和(差)或一个绝对值的函数，形如f(x)=|ax+b|±|cx+d|与f(x)=|ax+b|的函数图象是有规律的，总结得到十种图式，分别为：①∨形图；②平底桶形；③斜底桶形(两种)；④左右游泳形(两种)；⑤开口向上鸟形(两种)；⑥开口向下鸟形(两种).熟悉这十种图式，铭记于心，作图时就能驾轻就熟，有章可循！

一、含一个绝对值的情形

图1

形如f(x)=|ax+b|(其中a>0)的函数，其图象为图1：

图式：∨形图；左右两条射线交于x轴上同一个点

二、含两个绝对值之和(差)的情形

形如f(x)=|ax+b|±|cx+d|(其中a>0，c>0)的函数，其图象共有九种图式：

图2

1.可化为形如f(x)=|ax+b|+|cx+d|(其中a>0，c>0)的函数，当a=c且b≠d时，其图象为图2：

图3

2.可化为形如f(x)=|ax+b|+|cx+d|(其中a>0，c>0)的函数，当a≠c时，其图象为图3：

图4

3.可化为形如f(x)=

|ax+b|-|cx+d|(其中a>0，c>0)的函数，当a=c且b≠d，其图象为图4：

图5

4.可化为形如

f

(

x

)=|

ax

+

b

|-|

cx

+

d

|(其中

a

>0，

c

>0)的函数，当

a

>

c

时，其图象为图5：

图6

5.可化为形如

f

(

x

)=|

ax

+

b

|-|

cx

+

d

|(其中

a

>0，

c

>0)的函数，当

a

<

c

时，其图象为图6：

三、图象法解题的操作流程

第一步：根据个人认知需要处理不等式两边，并确定是否需要合理地移项.可能的话可把含绝对值的项归在左边，其它的项归在右边；也可以把含自变量的项通通归在左边，常数项归右边.

第二步：两边构造函数，并作出两边函数图象.题目两边的不等关系转化为两个函数图象的高低关系去审视，依据求解目标解决相关问题.

四、图象直观性解题的实例观赏

例1 (2013年全国卷Ⅰ)已知f(x)=|2x-

1|+|2x+a|，g(x)=x+3.①当a=-2时，求不等式f(x)-1且当x∈

图7

解：①当a=-2时，f(x)=|2x-1|+|2x-2|，即f(x)=

如图7，令4x-3=x+3，得x=2；令-4x+3=x+3，得x=0，结合图象得f(x)

图8

简评：第②问若用纯代数推理会有难度；若借助“平底桶形”图便能直观地分辨f(x)与g(x)的单调性，以及大小与高低的关系，快速破解题目所蕴含的意蕴，达到釜底抽薪，化难为易之功效，彰显了以图助数的魅力所在.

图9

②分三类讨论：

(ⅰ)当a=-1时，f(x)=3|x+1|≥0，f(x)最小值为0，不合题意.

(ⅱ)当a>-1时，

图10 图11

如图10，f(x)最小值在x=a处取得，所以

f(x)min=f(a)=a+1=5，即a=4，又因为a>-1，所以a=4吻合；

(ⅲ)当a<-1时，

如图11，f(x)最小值在x=a处取得，所以

f(x)min=f(a)=-a-1=5，即a=-6，又因为a<-1，所以a=-6吻合；综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)得a=4或-6.

简评：①作出f(x)“斜底桶形”图后，解集不空的充要条件是直线y=m在函数f(x)图象最低点的上方，图象简单明了，思维简洁；②分类作出f(x)“斜底桶形”图后，单调性尽收眼底，f(x)最小值均在x=a处取得.

例3 (2016年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|，①画出f(x)的图象；②求不等式|f(x)|>1的解集.

解：①零点分段得

图12 图13

②由|f(x)|>1得f(x)>1或f(x)<-1，(ⅰ)当f(x)>1时，结合图13知，令-x+4=1，得x=3；令3x-2=1，得x=1，依图象高低得f(x)>1的解集是{x|1

简评：此高考题考查了画“开口向下小鸟形”图象的能力，解绝对值|f(x)|>1不等式要分两类处理，依据图形很快锁定直线y=±1与y=f(x)图象交点的大概位置，从而为下一步代数精确求解埋下伏笔.

图14

例4 设函数f(x)=|x+3|，g(x)=|2x-1|，①解不等式f(x)ax+4对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围.

解：①分别作出f(x)和g(x)图象，而g(x)=

图15

要使h(x)>r(x)恒成立，从图15审视，就是h(x)图象永远在r(x)直线上方.(ⅰ)当a≥0时，临界线是r(x)=ax+4与y=4x+5平行，此时满足0≤a≤4；(ⅱ)当a<0时，临界线是r(x)=ax+4过顶点A(-3,7)，此时应满足h(-3)>r(-3)，得7>-3a+4，即a>-1，又a<0，所以-1

简评：第①问可以借助两个∨形图，形象地求出交点横坐标，进一步利用图象高低关系确定解集范围；满足第②问条件的是直线系，关键是精准确定两边的临界线，再依直线系的旋转走向确定斜率a的取值范围.

图16

解：①分段得f(x)=

②零点分段得

图17

简评：此题考查了“开口向上小鸟形”图象，第②问作出f(x)图象后方能准确判断所围成的三角形，以及底和高等边长怎样求解.缺少图解，难找思维切入点.

例6 (2017年全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=

-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|，(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含区间[-1,1]，求a的取值范围.

解：(1)依题知f(x)=-x2+x+4，即f(x)=

图18

图19

简评：此题考查了“平底桶形”与“上凸的抛物线”模型.在第(2)问中，不等式f(x)≥g(x)的解集包含区间[-1,1]，在区间[-1,1]上截图，解析为在区间[-1,1]内，f(x)局部图象上的点不能低于g(x)局部图象(即桶底水平段)上点，又因为抛物线段是上凸的，所以只需满足f(1)≥2且f(-1)≥2就足够了.

例7 (2017年全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|，(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

图20

解：(1)依题意两边构造函数y=1和f(x)=

图21

简评：此题考查了“右向游泳形”图象，处理第(2)问时，首先要弄清楚抛物线与线段EF刚接触时，是相切接触，还是非相切接触，因为它决定着求m临界值的方案.

感悟：解“与含两个绝对值之和(差)或一个绝对值”相关联的不等式问题，可以用直观图解法(是教材构造法的延展)，整体挖掘两边不等关系的几何意义，以图导思、以图助思、以图促思，从而转化为代数的不等关系并求解.图解法的好处是显而易见的，就是缩短思维的长度和降低思维的难度，整体把握结果的可能性，使问题暴露在阳光之下，能居高临下地透过题目迷人的包装表象，窥探到问题的本质，直击目标，让人有一种拨云见日的快感.

上面节选的例题全面涵盖了含两绝对值之和(差)或一个绝对值的函数的十种函数图式，熟悉这十种函数的图式，能提高作图速度与准确性.图解法具有很浓的程序化解题步骤，操作性强，可概括为几步：整理后左右两边分别构造函数(具备了的函数可免这一步)→化为分段函数→正确作图→依两个图象间的高低信息解决相关问题.其中作图显得尤为重要，是最关键的一步，只有熟悉这十种图式才能达到有章可循的境界，提高算理能力.