教学实录与点评：点到直线的距离 *

江苏省睢宁县第一中学 (221200) 潘云超 武瑞雪

1.教材分析

点到直线的距离公式是解析几何中的一个基本公式，具有广泛的应用，此公式可以看作两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行直线之间的距离，在解析几何的知识体系中处于承上启下的地位.

教学目标：(1)通过点到直线的距离公式的推导，渗透类比、化归的思想，并使学生进一步了解用代数方法研究几何问题的方法，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.(2)掌握点到直线的距离公式，能运用它解决一些简单问题.(3)渗透数形结合的思想，对学生进行对立统一观点的教育.

教学重点：会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离.

教学难点：点到直线的距离公式的推导.

2.教学实录与点评

在我市举行的一次青年教师的优质课评比活动中，其中一位教师A对《点到直线的距离》这节课的教学设计和实施给笔者留下了深刻的印象，现实录与点评如下，以期与同行探讨.所用教材为现行苏教版，课前布置学生在“导学案”引导下阅读教材，本节课是“点到直线的距离”第一课时.

2.1 问题情境

问题1 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=；

(2)当A(x1，0)，B(x2，0)时，则AB=；

(3)当A(0，y1)，B(0，y2)时，则AB=.

点评：先复习两点间距离公式，以此作为新知识的生长点，自然引出需要解决的新课题“点到直线的距离”.

问题2 什么叫点到直线的距离？如何求图1中原点O到直线AB：3x-4y-12=0的距离？

图1

根据课前批改导学案所了解到的情况，教师分别让生1、生2说出其求解思路.

生1：(教师按生1思路板书)求OH长度求直线AB与直线OH的交点H的坐标求直线OH的方程求kOH求kAB.

师：生1的解法，思路自然、清晰，大部分学生都容易想到，但此法计算量较大；生2的解法，思路简捷，步骤少.

点评：高效率的课堂教学，源于高质量的课前备课和充分的课前预设.在课前，教师就预估到学生可能有的一些解法，故制作课件时，就将生1、生2的解法编制在课件上了，生1、生2口答完后，教师直接播放课件，节省了板书时间，提高了教学效率.

图2

问题3 如图2，求点D(2，4)到直线AB：5x+4y-7=0的距离.

教师课前批改导学案，了解到大部分学生都采用生3的思路.

生3：求DE长度求直线AB与直线DE的交点E的坐标求直线DE的方程求kDE求kAB.

师：先用多媒体展台展出生3的解答过程，然后询问学生，有没有类似生2的求解思路呢？

师：结合图形，用等面积法，将“求点到直线的距离问题”转化为“求直角三角形斜边上的高”的问题，缩小了运算量，并用多媒体展台展示生4的完整解答过程，并给予点拨.

点评：教学实践证明，对于学生不易想到的思路或解法，让学生盲目地去尝试，只会耽误学生的时间，影响教学效率.因为有问题2的铺垫和启发，学生很自然地想到“等面积法”，通过对比，生4的解法比生3的解法更简捷.

问题4 若P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(AB≠0)，如何用点P的坐标和直线l方程中的参数A，B，C来表示点P到直线l的距离？

生5：(因为问题2、问题3的解决为问题4的解决指明了方向，生5顺利说出用“等面积法”推导公式的过程).

师：用PPT显示用“等面积法”推导公式的完整过程.

点评：教材上在运用“等面积法”推导点到直线的距离公式时，直接过点P作x、y轴的平行线(或垂线)构造直角三角形，没有展现思维过程，显得唐突，学生很难理解、领悟.上述问题串的设计，引导学生顺利地突破了这个难点：问题1到问题2，由熟悉到不熟悉；问题2到问题3，由易到难，但解决的方法可以类比、迁移；问题3到问题4，由特殊到一般，解决的方法仍然可以类比、迁移，有效地防止了学生思维不畅的情况发生.

问题5 当直线l的方程Ax+By+C=0中的A=0或B=0时，公式是否成立？

对于此问，教师没有越俎代庖，而是放手让学生独立探究、讨论，最后教师引导学生结合图形，验证了结论的正确性.

点评：由问题4到问题5，由一般到特殊，教师没有直接告知学生此时公式是否仍然成立，而是给足学生时间，让学生自己验证，最后教师画图形解释、补充.

2.2 数学理论

强调：公式的结构特征：分子是将已知点坐标代入直线方程等号左边的式子后再取绝对值的结果，分母则是直线方程中x，y系数的平方和的算术平方根.

2.3 数学运用(例题或练习)

例1 求点P(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y=10；(2)3x=2.

生5：板演(略).

变式1 (课本第105页习题2.1(3)中第6题改编)

(1)点P是直线2x+y-4=0上任意一点，O是坐标原点，求OP的最小值．

(2)点P是直线2x+y-4=0(x≥0，y≥0)上任意一点，O是坐标原点，求OP的范围．

点评：通过例1及变式1，巩固点到直线的距离公式.通过例1，让学生明确公式什么时候可以直接使用，什么时候需要转化才能使用，什么时候能用也不用，突出本节课的重点；通过“一题多变”和“一题多解”培养学生思维的深刻性和发散性，并渗透函数思想和数形结合思想.

例2 求两条平行直线3x-4y+8=0，3x-4y-2=0之间的距离.

点评：两条平行直线之间的距离，可转化为一条直线上的一点到另一条直线的距离，渗透化归思想.

变式2 若直线l1：Ax+By+C1=0 ，l2：Ax+By+C2=0，C1≠C2，求这两条直线之间的距离.

点评：由例2到变式2，由特殊到一般，解决方法可类比迁移.

变式3 求下列两条平行直线之间的距离：

(1)2x-y=0，2x-y+5=0；

(2)x+2y-3=0，2x+4y-5=0．

点评：巩固两条平行直线之间的距离公式.

2.4 当堂检测

2.已知直线l经过直线l1:2x+y-5=0与l2:x-2y=0的交点．

(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．

点评：第1题与第2(1)题均为易错题，分别易忽视“在两坐标轴上截距均为0”和“直线l的斜率不存在”的特殊情况，选用这两题，故意设置陷阱，利于培养学生思维的严谨性和批判性.第2(2)题，通过画图，可发现点A(5，0)到l的距离的最大值就是l1与l2的交点P与点A之间的距离，渗透数形结合和等价转化思想.

2.5 课堂小结

(放手让学生总结，然后教师补充，略)

2.6 布置作业

必做题：课本105-106页习题2.1(3)：7，9，11，12.

选做题：1.(课本第105例3改编)请按以下指定的三种方法证明：等腰三角形ABC底边BC上任意一点P到两腰的距离之和等于一腰上的高.

方法一(几何法)：利用初中所学习的平面几何知识证明；

方法二(坐标法)：以等腰三角形底边所在直线为x轴，底边上的高所在直线为y轴，建立直角坐标系，然后利用点到直线距离公式证明；

方法三(坐标法)：以等腰三角形底边所在直线为x轴，以底边的一个端点为坐标原点，建立直角坐标系，然后利用点到直线距离公式证明.

2.课本106页习题2.1(3)：T13—T21

点评：(1)做作业，可帮助学生巩固所学.作业布置分必做、选做两部分，由易到难循序渐进，让不同层次的学生在数学上获得不同的发展.

(2)“坐标法”不是本节课的重点，故本节课没有处理课本上第104页的例3，而是将其改编为作业中选做题的第1题，为下一课时(习题课)做充分准备.此题要求一题多法，目的是培养学生思维的发散性，且通过方法二与方法三的比较，让学生切实体会建立坐标系是将“几何问题”转化为“代数问题”的基础，而合理建系可以减少运算量.

3.总点评

3.1 优点

(1)教学流程清晰有条理

学生在教师的引导下，由浅入深，由特殊到一般，由具体到抽象，利用类比、归纳的方法，亲历“点到直线的距离公式”发生、发展、建构、运用的全过程，充分体现“以学生的发展为中心”的教育理念.

(2)重视信息技术的使用

借助PPT和展台的直观演示辅助教学，节省教师板书时间和学生抄题时间，提高了课堂容量和教学效率.

(3)灵活地选用教材上的例题、习题

能根据学情，灵活选用或改编教材上的例题、习题，做到“尊重教材，而不囿于教材”.

(4)顺利突破教学难点

点到直线的距离公式的推导是本节课的难点.该教师根据学情，化整为零，化难为易，设计问题串，而且每个问题都处在学生思维的最近发展区内，利于学生理解、领悟，顺利突破难点.

3.2 不足

(1)教师对“当堂检测”情况点评后，没有留给学生足够的时间整理、记录易错题，这会导致学生再遇类似题目时，出现“课堂上听得懂，课后又不会做或老错误重犯”的现象.

(2)对于回答错误的学生，教师没有给予必要的鼓舞，让这些学生多了挫败感.教学实践表明，当学生答错时，教师若说“你再细心一点，也许就能做对了”“没关系，坐下再想想”等，能让学生少些挫败感，多些成就感，增强自信心.