初中生数学建模思想的培养

肖海根

[摘  要] 在初中数学教学中，教师不仅要培养学生的数学建模能力，更要将其上升为建模思想. 数学教师要研究数学建模思想的形成途径，并在建模过程中通过模型的运用及用后反思，来帮助学生建立清晰的数学模型认识，进而生成建模思想.

[关键词] 初中数学;数学建模;建模思想

核心素养背景下，数学学科核心素养明确提出了数学建模这一因素，尽管这不是向初中学段提出的，但考虑到不同学段之间的教育思路具有连续性，且数学建模也一直是初中数学的重点，因此在初中数学教学中培养学生的建模能力，进而培养学生的数学建模思想，仍然是非常必要的. 早在国家推行素质教育的时候，就有人做出了这样的判断：在中学数学教学中适当渗透建模思想，开展数学建模活动，对学生的创新能力培养能发挥重要作用，也是数学教学改革推进素质教育的一个突破口[1]. 而到了核心素养时代，数学建模思想培养的重要性应当得到更高程度的确认.

数学建模思想形成的途径及探究

在数学学科核心素养中，数学建模是六要素之一，其重要性不言而喻. 但对于初中数学教学而言，将对数学建模的研究视角切换到学生身上时，实际上要关注的内容较多，包括从学生数学建模意识的培养，到数学建模能力的提升，再到数学建模思想的形成等. 其中，意識培养是前提，能力培养是途径，而思想培养是旨归，数学建模思想的培养，统领着数学建模意识与能力的培养. 对于教师而言，则要理清从数学建模到模型思想的嬗变，要从培养数学建模意识并促进其应用的角度让学生在实践中逐步形成模型思想[2].

笔者在研究中，重点对学生数学学习过程中数学建模思想的形成途径进行了探究，应当说还是非常有收获的. 总体而言，数学建模思想的培养过程，与数学建模过程是同步的，但这个过程中，教师的引导、指导与评价非常重要. 在学生的建模过程中，教师通过对学生建模过程的提纯、强化，必要时进行显性评价，是数学建模思想逐步形成的必要条件. 具体地说，数学建模思想的形成过程大致是这样的.

首先，面对问题时形成数学建模的意识. 这是数学建模的第一步，也是数学建模思想的萌芽. 通常情况下，我们强调某一个数学思想的形成，往往就是从意识培养开始的. 很多实际问题都是在数学抽象之后，与某一个数学知识形成联系才能得到解决，而所谓形成联系的过程，其实就是建模的第一步，只有知道要建立与哪个数学知识相关的模型，才能知道用什么数学知识来求解.

其次，在解决问题时建立数学模型. 通常情况下，模型成熟的时候，就是问题解决的时候，因此问题解决的过程与数学建模的过程客观上是同步的. 当然由于学生要梳理、书写问题解决的过程，因此看起来问题解决要滞后于数学建模，但从学习心理的角度，两者同步是必然的. 当然从具体的机制角度讲，数学建模之初，学生需要对问题进行抽象，以寻找恰当的模型;其次需要将问题中的要素（已知与未知）渗透到模型中，使模型有解决问题的功能.

再次，在问题解决后的反思中强化模型认识. 问题为什么能够得到解决？需要学生学会反思解题过程，生成解题思路，充分认识解题过程中模型所起到的关键作用. 此时教师有两个选择：一是帮学生梳理模型建立的思路及作用，但不提及数学建模概念;二是以数学建模这一概念统领解题思路，让学生明确认识到数学建模在问题解决的过程中所起到的作用. 具体采用哪一种，取决于学生的实际情况.

基于数学建模过程培养建模思想

建模思想无疑是在建模过程中形成的，如果说建模思想是灵魂，那建模过程就是躯体，前者依附于后者之上，后者因为有了前者而具有生命力. 我们都知道，数学建模的一般步骤是：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验[3]. 那么在这个过程中，数学建模的思想是如何形成的呢？笔者通过实际例子来说明.

我们知道，函数本身就是一个数学模型，常常用来解决生活中的实际问题，而基于生活素材改编的一个常见的问题是：某公司生产出一种产品出售，如果在成本价10元/件的基础上，按利润率80%出售，那每天可以卖出60件;而通过更为精细的市场调查之后发现，如果每件产品的售价每提高1元，那每天的销量就会减少5件，而如果每件产品的售价每降低1元，那销量就会增加5件. 基于这样的调查结果，你认为该公司应当做出什么样的选择？

这是一个实际问题，面对这个实际问题，学生通常会知道应当追求利润的最大化，说得通俗一点，就是要尽可能地赚更多的钱. 那这个利润在问题情境中应如何表示呢？带着对这个问题的思考，建模的过程实际上已经开始了.

首先，学生会认识到这是一个动态变化的问题，其与方程必然相关，而当解决问题的数学工具选择为函数时，模型准备就开始了.

其后，学生必然要设未知数，这实际上就进入了模型假设阶段. 不同学生会基于不同的思路，设不同的未知数. 此过程中需要通过交流讨论的方式，最终决定设商品的售价为x元/件，而每天的利润则可以设为y.

到了模型构成阶段，实际上就是准确确认问题中的数量关系，即y={60-5×[x-（10+10×80%）]}（x-10）.

对于这个模型的求解，聪明的学生往往会想到其与二次函数的最值有关，而有了这个想法，问题实际上就被解决了.

至于模型分析与模型检验，实际上可以借助二次函数的知识（包括性质、图像等）来进行，也可以通过特殊值的计算来进行，反正结果肯定是当售价是20元/件时，利润最大. 有了这个发现，问题也就得到了解决.

其后就是重要的“问题解决过程反思阶段”，即思考“我们是通过什么方法实现问题的解决的”. 这是一个具有通用性的问题，在问题得到解决之后，再让学生进行这样的一个反思，这在传统教学中比较少见，但又非常重要. 因为这个过程可以帮助学生梳理解决思路，而在利用数学模型解决问题的情境中进行这样的反思，可以凸显模型的价值，从而让学生形成数学建模思想. 实际上在上面这个例子中，学生通过梳理就会发现：模型在其中发挥着重要的作用，这说明函数这个模型是具有实际运用价值的，是可以解决与变量相关的实际问题的. 那学生在今后遇到与变量相关、与最值相关的问题时，就会直觉性地想到函数知识的运用，这说明数学建模思想已经初步形成了.

而从教学研究的角度来看学生数学建模思想的形成过程，实际上也是有共性的：当学生遇到问题，意识到问题的解决可能与数学相关（实际问题中学生有可能还会想到其他学科），与数学当中的某一个知识（如方程、函数等）相关时，数学建模过程就已经启动，模型思想也就开始形成. 说白了，数学建模思想并不高大上，其就是学生运用数学模型解决问题的一种意识、直觉以及熟练程度等. 当学生能够熟练地运用数学模型解决问题时，我们自然认为其是具有数学建模思想的.

建模思想的形成需开放教学思路

相对于數学知识的传授、解决问题能力的培养而言，数学建模思想的培养难度更大，因为其本身不可能是直接的教学对象，只有在学生建立数学模型的过程中才有培养的空间，而学生建立数学模型的主要目的，往往并不在数学建模思想培养本身，而在于问题的解决甚至是更为直接的考试得分. 因此，数学建模思想的培养，既需要一定的模式，又需要教师本着开放的思路去进行.

众所周知，初中数学应用性问题所涉及的数学模型主要包括了函数、方程、不等式、三角、几何等概念. 建模的内容也相当丰富，遍及社会生活与生产实践的各个方面[4]. 开放的教学思路意味着在数学建模思想培养的过程中，素材的选择可以是开放的，而素材越开放，意味着学生可以将数学建模与生活的联系变得更密切一些，那数学建模思想的形成实际上也就更容易一些. 这是因为数学建模思想与数学建模的过程密切相关，只有在数学建模的这个“游泳”过程中，建模思想这个“游泳技能”才能形成.

同时，教师的教学方式也应当是开放的，数学建模的过程固然有文章第二点阐述的步骤，但实际上很多时候也不完全拘泥于那样的过程. 初中生在解决问题的时候，还有很多直觉思维非常可贵，借助学生的直觉思维去培养学生的数学建模思想，实际上也是非常可行的. 而很多时候数学建模思想之所以能够发挥作用，其本身也是问题解决者的一种直觉.

综上所述，初中数学教学中数学建模思想的培养，既要立足于数学建模意识的培养，更要在数学建模的过程中，让学生的数学建模能力得到提升，且多次训练之后最好要形成利用数学模型解决实际问题的直觉，这样的数学建模思想才会真正成为学生的内在习惯.

参考文献：

[1]方俊，吴方. 浅谈中学数学教学中“数学建模”思想的渗透[J]. 数学教学通讯，2006（9）.

[2]徐冬梅. 模型思想：一个具有丰富意义的数学概念——基于初中数学的思考[J]. 数学教学通讯，2017（5）.

[3]蓝婷，刘文辉. 数学建模与中学生数学应用能力培养的策略研究[J]. 数学教学通讯，2011（6）.

[4]孙小萍. 浅谈初中生数学建模能力的培养[J]. 中学数学教学，2003（2）.