例析初中数学教学中数学思想的渗透

史丹萍 任庆

[摘  要] 在初中数学教学中，注重数学思想的渗透是重要目标之一. 渗透数学思想，可以发展学生的数学思维，培养学生的数学意识，提高学生的数学素养. 数学思想包括转化思想、化归思想、方程思想、函数思想等，文章以转化思想为例，通过实践案例，就如何将数学思想渗透于教学中谈谈自己的看法.

[关键词] 初中数学;转化思想;问题解决

转化思想就是将数学中待解决的问题或难以解决的问题，通过适当的方法和途径进行转化，使其转化成已经解决的问题或者容易解决的问题. 转化，通常可以达到将问题化繁为简、化难为易的效果，其不仅有利于学生解决问题，而且有助于学生看透问题的本质，更好地理解问题，从而提高学习效率. 下面笔者以“等腰三角形复习”的教学片段为例，简要谈谈如何将转化思想渗透于初中数学教学，希望能给同仁们一些参考.

回顾旧知，搭建基础回顾旧知是复习课的必备环节，“万丈高楼平地起”，通过对旧知的回顾，搭建知识基础，能为后续环节做铺垫，能为能力的提升提供必要的条件.

（完成方式：教师引导，学生回答）

师：等腰三角形是初中数学中重要的几何模型，在几何问题的解决中有着举足轻重的作用. 通过前几节课的学习，同学们对等腰三角形已有充分的认识，现在请大家谈一谈你学到了哪些关于等腰三角形的知识.

生1：等腰三角形的两个底角相等，两条腰相等.

生2：“等角对等边”“三线合一”.

生3：等腰三角形是轴对称图形.

……

教师梳理后板书等腰三角形的定义及性质.

设计意图 该环节是课堂的起始环节，所以让学生知道这节课要“做什么”尤其重要. 以完全开放的形式让学生自主回答学到的知识，可以引导学生对所学内容进行全面回顾及相互补充，教师梳理后即刻板书，能将学生脑海中琐碎的知识系统化、完整化.

层层推进，感悟思想

解决问题是复习课的主要环节，该环节需要通过层层深入的问题让学生体会到转化思想的存在，并通过问题的解决让学生感悟到该思想的实际效用.

问题1 如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°.

（1）∠ABC=_________，∠ACB=_________.

（2）作∠ABC的平分线BD，交AC边于点D，则图中共有几个等腰三角形？

（3）在（2）的条件下过点D作BC的平行线DE，交AB边于点E，会不会产生新的等腰三角形？

（完成方式：学生合作完成，小组代表全班展示）

生1：（1）∠ABC=∠ACB=72°. （2）共有3个等腰三角形，即△ABC，△ABD和△BCD，由角度的计算可以得到此结论. （3）过点D作ED∥BC后，新增了2个等腰三角形，即△BED和△AED.

师：在你的解答过程中由角度得到等腰三角形的依据是什么？

生1：等角对等边.

师：由角到边的转化过程，是哪种数学思想的体现呢？

生1：转化思想.

变式 如图1③，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE∥BC交AB边于点E，请找出图中所有的等腰三角形.

师：你认为这个变式的结论和问题1中第（3）问的结论一样吗？

生2：不一样，该图中只有3个等腰三角形.

师：和问题1的第（3）问相比，哪两个三角形不是等腰三角形了呢？

生2：由角度可知，△ABD和△BCD不是等腰三角形了.

师：你考虑问题很细. 问题1的第（3）问之所以存在5个等腰三角形，是因为它是最特殊的“黄金等腰三角形”，而普通的等腰三角形并不会存在这样的特殊性.

问题2 如图2，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC边于点D，DE∥BC交AB边于点E，寻找图中的等腰三角形，并证明.

（完成方式：教师引导学生完成）

师：观察这个图形，与上述2道题中的图形相比，有何不同与相同？

生3：不同的是△ABC的形状变了，它不再是等腰三角形，而且也没有固定的角度大小. 相同点在于条件依旧是角平分线与平行线.

师：你观察得真仔细. 那这个图形中有几个等腰三角形呢？

生3：只有一个，即△BDE.

师（追问）：你是怎么找出来的？说出你的证明方法.

生3：由BD平分∠ABC可以得到∠EBD=∠CBD，由DE∥BC可以得到∠EDB=∠DBC. 等量代换即可得到∠EDB=∠EBD，因此EB=ED.

师：你的证明过程是否渗透了某种数学思想？

生3：角与角之间的转化、角与边之间的转化.

师：非常好！转化思想在你的证明过程中得到了充分的体现.

变式 如图3，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于点E和点F.

（1）找出图中所有的等腰三角形并证明;

（2）猜想线段EF和BE，CF的数量关系，并证明.

（完成方式：学生板演）

（学生板演过程略）

师（追问）：该同学给我们展示了一个完整的证明与解答过程，在这个过程中，转化思想是否有体现呢？

生4：有体现，这个过程有角与角的转化、角与边的转化、边与边的转化.

设计意图 该环节的主要教学目标是让学生充分体会到等腰三角形中存在的轉化思想，因此教师反复强调该思想的存在性. 该环节设置了两个例题及两个变式，逐层递进，前后问题之间有着紧密的联系，问题整体难度不大，学生基本可以独立解决，如此便可以通过简单的解决问题过程让学生领会转化思想的实质，形成初步的数学思想意识.

题后总结，稳固思想总结过程即知识的内化过程，学生通过题后总结可以实现将解决问题过程中的思路、方法纳入自己的知识体系，因此题后总结不仅是教学的重要环节，而且是学生解题所必需的一环.

教师引导学生共同总结解决问题过程中所渗透的转化思想并板书如下：

[转化思想

1. 角与角的转化：相等角之间的等量代换.

2. 边与角的转化：等角对等边，等边对等角.

3. 边与边之间的转化：相等线段之间的等量代换.]

设计意图 本节课在方法与能力上的教学目标是让学生体会转化思想的运用，因此总结环节直接围绕转化思想进行，能直达目标.

数学的学习关键在于灵活与变通，因此将问题举一反三是学生提高能力的途径，也是发展学生创造能力的平台.

举一反三 如图4，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，DE∥BG且分别交AB，AC于点E和点F，则EF，BE，CF三者之间有何数量关系？

（完成方式：学生课后独立完成）

设计意图 该环节的问题通常作为教学中的备用问题来呈现，若有时间，则课上完成;若没有时间，则留至课后由学生自主完成. 这样一方面给学生的进一步探究提供了资源，另一方面则可以养成学生主动学习的习惯.

思想是问题的本质，是数学的灵魂. 新课程改革背景下的初中数学教学，将数学思想渗透至数学教学过程中是必需的，因为数学思想是解决数学问题的依据，体悟数学思想的存在性是理解数学的必要条件，学会运用数学思想来解决问题是提高学生数学能力的有效途径.