浅议初中数学“学材再建构”的实施

施献

[摘  要] 教学行为的有效展开，不仅要基于教材，还要变通教材，要将教材资源充分地开放、巧妙地整合、科学地再建构，以此满足所教学生的发展需要，也以此满足教材价值的达成. 为此，在常态的教学行为中，“学材再建构”成为当下常态备课和课堂研究的一项课题，也成为一项评价标准.

[关键词] 学材;再建构;初中数学;价值

“学材再建构”是指，教师依据学习目的，参照教学任务，在不否认大纲及教材的前提下，适当对各种主观性和客观性的学材进行增删、重组，使之更适合学生的接受及发展. 其中，主观性学材主要包括课标、课本、练习册、教师指导用书等看得见的显性资源，客观性学材主要包括学生的已有知识水平、学生的学习态度、学生的个性特点、师生关系等不易“察觉”的隐性因素. 学材再建构打破了传统教学“照本宣科”的模式，是一种能够真正实现自主学习、知识生成的教学方式. 下面笔者结合“相似三角形的性质（1）”（苏科版九年级下册第六章）的设计及教学片段，就如何实施“学材再建构”，谈谈自己的想法.

学材分析

相似三角形的性质是在学生学习了相似三角形判定的基础上从相反的角度探究两个三角形的特殊关系，是相似三角形的重要内容，也是整个初中数学中解决与相似有关的几何问题的重要知识. 学习的内容包括：相似三角形本身对应边、对应角之间的关系，及派生出的对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积之间的关系，课本将该部分内容分为两个课时，第一课时是相似性质内容的推导，包括相似多边形的性质;第二课时则是相似性质的实际运用.

学生已经系统地学过了“全等三角形”一章，对由判定到性质的思维角度、推导方式已有所了解，所以有关相似三角形的对应角、对应边之间的关系完全可以交由学生自主建构，由相似三角形的性质推导相似多边形的性质也可以由学生自主实现，但是有关对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积之间的关系则需要教师的引导.

学材重组

根据对教学内容及学生的分析，笔者对学材进行了如下重组：

（1）将课本中对该部分内容的划分进行重新调整，即第一课时便完成相似三角形性质的推导及简单运用，第二课时则对此进形强化.

（2）将“相似多边形的性质”的推导移至第二课时，并且不花费时间来推导，而是以问题的形式呈现，让学生自行领悟.

（3）相似三角形对应边、对应角的关系让学生自主探究、自己归纳.

（4）以问题的形式引导学生探究相似三角形对应高之比，进而推导对应中线、对应角平分线之比.

（5）以小组合作的形式让学生探究相似三角形的周长及面积之比.

1. 类比迁移，引入新知

该环节是教学的引入环节，新旧知识类比是常用的引入方法. 进行类比，能让学生体会到知识之间的联系，从而找到本节课的学习方法与思维方向.

引入：由图形的定义到判定定理的推导，再到图形性质的归纳，是研究几何图形的基本思路. 正如全等三角形，我们首先知道了全等三角形的定义，认识了全等三角形，接着学习全等三角形的多种判定方法，最后从另一个角度解读图形，对三角形的性质进行推导. 对于相似三角形，我们同样可以用这样的思路来进行探究.

问题1 如图1，已知△ABC∽△A′B′C′，根据相似的定义，我们可以得到哪些结论？

（完成方式：学生独立思考后自由回答）

生1：这两个三角形的形状一样，大小不一样.

生2：这两个三角形的对应边之比相等.

生3：这两个三角形的对应角相等.

归纳：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，即对应边之比等于相似比.

（教师进行相应的板书）

设计意图 由全等三角形的学习过程引入教学，是为了让学生感知知识之间的内在联系，学会知识迁移;以简单的问题展开教学，是为了让学生对学习本节课的内容充满信心，同时让学生找准学习本节课的方向，知道本节课需要研究的问题. 问题虽简单，却是本节课的重点. 以提问的方式让学生自己总结而非灌输，这样能激发学生的学习主动性.

2. 解决问题，发现新知

该环节是让学生运用简单的知识，在此基础上发现新结论，凝练新知识，是一种知识的自然生成过程. 知识的生成过程即学生对学材的再建构过程.

问題2 如图2，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，你能求出它们的对应高AD与A′D′之比吗？请你用学过的知识解答这个问题.

生1：将AD与A′D′分别看成是△ABD与△A′B′D′的边，由两角对应相等可以判定△ABD∽△A′B′D′. 再根据“相似三角形的对应边之比等于相似比”即可得到==k.

师：很好，你巧妙地将这两条高看成是两个三角形的边，利用相似的判定及性质准确地求出了AD与A′D′之比.

师（追问）：我们从这个问题中可以总结出什么结论呢？

生2：相似三角形的对应高之比也等于相似比.

师：非常好，相似三角形的又一个性质被我们发现了.

问题3 高是三角形中的特殊线段，我们知道，除了高以外，三角形中还存在着另外的特殊线段，那你是否还能发现新的结论呢？

学生经过思考、证明，发现了相似三角形对应的角平分线、中线之比也等于相似比.

教师板书：相似三角形对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比. 即相似三角形的对应线段之比都等于相似比.

设计意图 让学生直接发现相似三角形的对应线段之比等于相似比较为困难，因此以问题的方式进行引导. 问题2的设置是对性质1（即相似三角形对应边之比等于相似比）的简单运用，教师只设置了一个问题，从问题解决的过程中得出结论并归纳，这些都是知识的自然生成过程. 学生是主体，这个过程体现了学生对学材的建构.

3. 合作互学，构建新知

合作互学是实现自主学习的重要途径. 学生通过异质分组进行小组合作学习，能相互促进，相互影响，能利用小组的智慧凝练问题、构建新知.

问题4 如图3，已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那你能计算出的值吗？

（完成方式：学生独立完成，学生代表展示成果）

生1：我根据这两个三角形的相似比为k，将AB，BC，CA分别用kA′B′，kB′C′，kC′A′来表示，代入原式，化简后即可得到=k.

师：非常好，请分别用文字和符号表示你所得到的结论.

生1：相似三角形的周长之比等于相似比. 用符号表示为，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么C ∶ C=k（教师进行相应内容的板书）.

问题5 你能否发现相似三角形中与相似比有关的其他元素之比呢？请和你的同伴一起探索.

（完成方式：小组合作完成，小组代表展示成果）

某小组的合作片段如下.

生1：我们已经探究了相似三角形的边、中线、高、角平分线、周长之比，还有什么没有探究过呢？

生2：应该还剩面积吧.

生3：对，我也觉得是面积. 相似三角形的面积之比也等于相似比.

生1：应该也是这个结论吧.

生4：面积比怎么会和相似比相等呢？它们的高之比是相似比，底之比也是相似比，乘起来应该是相似比的平方才对吧.

……

生1、生2、生3即刻在草稿纸中进行推导、证明，最终统一结论：相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

各小组的展示内容如下.

生2：我们小组发现了相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 用符号表示为，如果△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，那么S ∶ S=k2.

（教师进行相应内容的板书）

生5：我们小组还发现了相似三角形中的对应线段之比与相似比都是相等的，这个对应线段不一定是中线、高、角平分线，可以是一条边的三等分点与相对顶点的连线等.

生6：我们小组还发现，将一组相似三角形的两个三角形分别以相应中位线进行分割，分成一个小三角形和一个四边形，这两个小三角形是相似的，这两个四边形也是相似的，并且它们的相似比和原来的大三角形的相似比相等.

……

设计意图 该环节设置的两个问题，问题4具有一定的引导性，能引导学生的思考方向，问题5是开放性问题，能让学生通过问题4的指引找到思考问题的方向，同时也给学生提供了拓展的平台，让学生自己主宰知识，凸显了“学材再建构”的实质.

4. 简单应用，巩固新知

“以题固知”是新授课的重要环节，目的是通过解决问题达到对所学知识的巩固. 新授课中的试题以巩固知识为主，因此难度不需要太深，应以基础题为主. 下面是“相似三角形的性质（1）”的课堂练习题.

1. 已知两个相似三角形的相似比为2 ∶ 3，则它们的对应角平分线之比为______，周长之比为______，面积之比为______.

2. 已知△ABC∽△A′B′C′，且BC ∶ B′C′=3 ∶ 4. 若△ABC的周长为9 cm，则△A′B′C′的周长为______cm;若△A′B′C′的面積是16 cm2，那么△ABC的面积是______cm2.

3. 将三角形的每条边都扩大到原来的5倍，那么新三角形的面积将扩大为原来三角形面积的______倍.

4. 顺次连接三角形三边的中点所构成的三角形的高与原三角形对应的高之比为_______.

5. 如图4，DE∥BC，AG⊥BC于点G，交DE于点F. 若AD=6，BD=4，AG=8，求AF的长.

设计意图 本节课是“相似三角形的性质”的第一课时，所以选取教材中的简单问题，将深一层的问题移至第二课时，这样更符合学生对知识的接受规律.

“学材再建构”的过程有时是显性的，在教师的掌控之中，有时又是隐性的，教师无法察觉，但它却真实存在于教学过程中. 建构的过程有时可以预设，即教师根据学材进行计划和设想，有时无法预设，而是在学生的学习过程中自然生成的. 学生的自学、小组的合作是“学材再建构”的载体，因此教师在教学中要将关注点置于学生的参与度与主动性上，只有这样，才能凸显“学材再建构”的实质，也才能更好地服务学生.