发展核心素养背景下数学意识养成策略研究

袁莉莉

[摘  要] 数形结合意识、一题多解意识、建模意识、反思意识的培养能令学生在数学学习中少走弯路，教师在实际教学中应引导学生领略这些意识形成对学好数学的重要意义，使学生能够学会运用这些意识并获得数学学习的良好效果.

[关键词] 意识;数形结合;一题多解;建模;反思

高中数学学习中的思想意识是学生学好数学所必需的，教师在实际教学中应进行有意识的引导和渗透，使学生能够在数学学习中养成良好的意识与习惯并获得良好的学习效果.

[?]数形结合

初中学生对于数形结合思想的运用与体验是比较少的，因此，高中教师面对高一新生应注重这一思想的有意渗透并使学生在数学解题中获得更多的体验与感受，使学生能够更好地适应高中数学的学习并将数形结合思想扎根于学生头脑中[1].

由此可见，勾勒函数图像对于函数性质的把握是极为重要的.

[?]一题多解

对概念形成真正的理解并熟练掌握解题技能才能真正地学好数学，学生在数学学习中如果能将一题多解内化成一种自觉性的意识和习惯，在概念的深化和技能的巩固中必然会有更加深刻的领会. 比如，很多学生往往会因为三角函数涉及的公式众多且运用灵活而感觉难学，因此，教师在实际教学中应注重公式的追根溯源并因此降低学生的记忆负担，使学生能够结合已有经验在一题多解中领会知识间的联系并更好地掌握公式及其运用[2].

从知识源头出发解决问题在以上两种解法中得到了很好的体现，事实上，利用诱导公式消除角的差异进行解题的方法会更加简便.

[?]数学建模

学生在数学学习中如果能够牢固树立方程模型、函数模型、概率模型等建模意识，必然会在有效的学习中获得学科能力与素养的快速提升.

例3：函数f（x）=a-x2（1≤x≤2）与函数g（x）=x+1的图像上，有关于x轴对称的点，a的取值范围如何？

两函数的图像上“有关于x轴对称的点”这一条件是决定a的取值范围的关键，将这一条件数学化的过程即为数学建模的过程，具体如下：

（1）勾画如图2所示的草图并明确问题;

（2）在[1，2]上作x轴的垂线AB并确定点A（x0，x0+1），B（x0，a-x）;

（3）由题意构造方程模型x0+1+a-x=0;

（4）转化函数模型a=x-x0-1（x0∈[1，2]）;

（5）利用单调性可得a∈[-1，1].

[?]解后反思

很多学生因为课业负担较重而疏于题后反思，事实上，解题反思意识的培养和习惯的养成对于数学学习来说好处颇多.

例4：某公司在A，B两地区随机调查了20个用户以了解用户对公司产品的满意度，具体如下图3所示：

调查结束后根据用户满意度评分制成了下表：

分别从A，B两个地区的20名用户的评分中随机抽取一个分数. 记事件C：“两地用户满意度登记相比，A地区比B地区高”. 现将两个地区用户的评价结果看成为相互独立的状态，请根据已知数据并以事件发生的频率作为相应事件发生的概率求出事件C的概率.

解决此题不难，设Ai，Bi（i=1，2，3）顺次表示从两个地区所抽用户的态度为不满意、满意和非常满意，则有P（A1）=，P（A2）=，P（A3）=;P（B1）=，P（B2）=，P（B3）=. 所以P（C）=P（A2B1∪A3B1∪A3B2）=P（A2B1）+P（A3B1）+P（A3B2）=P（A2）P（B1）+P（A3）P（B1）+P（A3）P（B2）=0.48.

从图表中不难看出A地区用户的评分比B地区用户的评分高出许多，但从中各抽取一户计算出的结果却小于，这就值得反思了.

笔者适时引导学生从A，B两个地区各抽取一户的三种情况设成了Ci（i=1，2，3），将A地区评分高于B地区这一情况设为C1，两地区评分持平这一情况设为C2，将A地区评分低于B地区这一情况设为C3，则P（C1）=P（C）=0.48，P（C2）=0.36，P（C3）=0.16，這一结果显然令学生的疑惑顿消.

例5：已知函数f（x）=-x2+2x，x≤0，

联想数形结合的方法并在同一坐标系中分别作出两个函数的草图，如图4，由函数y=ax的图像在函数y=f（x）的图像下方可以得出直线斜率a的取值是不能选择A，B，C的，因此D为正确选项.

但D为正确选项的理由是什么呢？直线y=ax的最小斜率为-2，由此可知函数y=-x2+2x在x=0点处的切线的斜率，但斜率a不能大于0的原因又是什么呢？难道斜率a取任意小的正数都不能满足直线y=ax始终在函数y=ln（x+1）（x>0）图像的下方？此处是值得学生反思的.

假如选项D确实是正确的，将图像向右平移1个单位并作进一步的思考，可以发现：直线y=a（x-1）和曲线y=lnx，不管a为多小的正数，都会如图5所示，有且只有两个交点. 构造函数g（x）=lnx-a（x-1）对此进行证明，该函数在a取任意小的正数时有且只有两个零点.

为了证明a能够取到任意小的正数，设a=（n≥1），研究g（x）=lnx-（x-1）（其中n=-lna≥1），不管n取多大值，都有两个零点存在.

显然有，g（1）=0，g（en）=n-1+>n-1≥0（n≥1），此时只需证明函数g（e2n）=2n-en+<0（n≥1）即可. 而事实上，若对自变量n求导，证明该函数是减函数是很容易的，因此g（e2n）=2n-en+

因此，除零点x=1之外，该函数在区间（en，e2n）=内还有一个零点，不仅如此，正数a越小，两个零点间的距离越大.

由此可见，仅仅满足于题目答案的获得是远远不够的，止步于答案往往跟问题的深刻理解与洞悉还存在一定的距离，因此，教师在解题教学中应不断引导学生进行深入的研究与反思并对获得的答案进行答案是否合理的思考，这对于学生思维的发散、问题的深刻理解来说都是极具意义的.

总之，制约学生学好数学的因素是多种多样的，教师在实际教学中应注重学生数形结合意识、一题多解意识、建模意识、反思意识的培养，使学生能够领略到这些意识形成对学好数学的重要意义，使学生善于运用这些意识并在数学学习中获得良好的效果.

参考文献：

[1]  韩龙淑，王新兵. 数学启发式教学的基本特征[J]. 数学教育学报，2009，（6）.

[2]  涂荣豹，王光明，宁连华. 新编数学教学论[M]. 上海：华东师范大学出版社，2006.