“等号”背后的思考

章建锋 何蕾

[摘  要] 文章以问题为源，通过探究问题产生的原因反思概念教学的重要性. 在反思的同时笔者提出概念教学要注重概念生成的过程、注重数学文化的引入、注重数学思维的迁移以及注重师生的同频发展. 通过讲清讲透概念生成的过程和本质让学生对所学知识有彻底的理解.

[关键词] 导数;概念教学

导数是研究函数的重要工具，在高考中具有举足轻重的作用. 在我們平时的教学中注重利用导数研究函数的性质，而对于导数的概念研究相对较少，这样学生只能做到简单的模仿，很难弄清知识的来龙去脉，给思维的提升增加了难度.

[?]问题呈现

为了迎接2019年无锡市高三第一次统考，我们精心准备了复习资料，其中在批阅苏州市某学年第一学期高三调研试卷的最后一题的第2问时碰到了两种解法，这两种解法给我们带来了困惑，同时也给我们带来了反思.

题目：已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x2-ax.

（1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t>0）上的最小值m（t）;

（2）令h（x）=g（x）-f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图像上任意两点，且满足>1，求实数a的取值范围;

（3）若存在x∈（0，1]，使f（x）≥成立，求实数a的最大值

第（2）小题的解答方法如下：

这两种解法最后的结果只相差一个等号，但是这个等号到底有没有以及两种方法是不是都对，引起了我们高三备课组全体数学老师的大讨论.

师1：第一种方法肯定是对的，因为整个解题过程没有任何问题.第二种解法不对，不能用切线的斜率来替代曲线上任意两点连线的斜率.

师2：因为A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x≠x）是函数h（x）图像上任意两点，且满足>1，所以当A点无限靠近B点时直线AB的斜率不就趋向于切线的斜率了吗？所以第二种解法也没有问题呀.

师3：因为导数的几何意义是曲线在某点处的切线，它是用割线逼近切线的方法来定义的. 所以>1不能完全用h′（x）>1导数来替代，而应该转化为h′（x）≥1，这样的话就和第一种解法解出来的结果一致了.

师4：h′（x）≥1中等号能否一定取到？有没有理论依据呢？

为此笔者查阅了大学里面的相关数学知识，发现拉格朗日中值定理给出了明确的答案，那就是这个等号是可以取到的.

拉格朗日中值定理：对于连续可导函数，其定义域为D，对任意区间（a，b）?D时，都存在x0∈（a，b），使得不等式f′（x0）=成立.

[?]原因剖析

这个问题产生以后，笔者经过深思熟虑，查找了相关资料，分析总结了产生这个问题的原因如下：

1. 教师对教材把握不准

这个问题表面上看是一个等号能否取到的问题，实际上背后隐藏的却是教师对该部分内容的理解不够深刻.有的教师对“以直代曲”和“无限逼近”的思想自己都不能够深刻领会，对于“无限逼近”的极限思想只是做了一个初步的了解，无法体会它的内涵和外延.

2. 教师对引言课不够重视

《导数的概念》这节课对于整个《导数及其应用》这一章内容而言仅仅是一节引言课，这部分内容重点是教会学生理解瞬时变化率、瞬时速度和瞬时加速度，通过割线逼近切线的办法计算曲线上一点处切线的斜率.在实际的教学过程中教师仅仅告诉学生如何利用=，Δx→0时求出f（x）在x=x处的导数，对于“以直代曲”和“无限逼近”的极限思想阐述得很少，结果的运用替代了过程的演变和思维的形成.

3. 教师缺乏钻研精神

在讨论中大家都谈到这个问题其实并不是现在才碰到的问题，在以前也有学生提出来过，大家都知道这个问题但是没有去钻研为什么会产生这个问题，怎么来理解这个问题，两种方法产生不同结果的原因在哪里，“等号”到底能否取到.有的教师自己都是一头雾水，搞不清这里面的关系，所以讳疾忌医，当然也就不会深入思考，对于学生提出来的困惑只能绕道而行.

[?]教学反思

笔者在教学实践中逐渐体悟到，研读教材是提升数学和教学双重专业素养的好方法，章建跃先生指出，教师最基本且重要的职责是教好课本，而“教课本”的核心是“教概念”[1]，因此善于抓住蕴藏在教材中的核心概念和思想等迁移能力强的知识，是教师研读教材的重中之重.

1. 概念教学要注重概念生成的过程

李邦河院士说：“数学，根本上是玩概念的.” 说明了数学概念教学的重要性[2].概念是对感性材料的综合，是对事物内在本质的反应. 概念教学要注重概念生成的过程，可以借助感性材料作铺垫，正确理解概念，例如《国家普通高中新课程标准》指出：“导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数.”也可以借助旧概念掌握新概念，例如立体几何中相关的性质和结论可以借助初中平面几何中相关的性质和结论进行类比推理而得.

2. 概念教学要注重数学文化的引入

概念课教学不仅是定义及其应用的教学，同时也是数学文化的教学. 数学文化的重要组成部分是数学的理性精神和数学思想.数学知识不是必然转化成数学文化，它需要数学教师在教学过程中通过自己的创造性劳动，使学生感受到数学文化.在本节课的教学中可以向学生简单介绍微积分的发展历程，介绍导数的发展史，让他们感受到数学文化的魅力，激发他们探求新知识的欲望，提升学生数学核心素养. 再如在讲解《数系的扩充》这节概念课时可以向学生介绍“无理数的发现”这一节数学史，让学生感受数学“美”的价值.

3. 概念教学要注重数学思维的迁移

波利亚强调：注重“思想应该在学生的头脑中产生出来，而老师只应起一个产婆的作用”.

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，贯穿在数学的产生、发展和应用的过程中. 《国家普通高中新课程标准》特别强调数学知识的发生和发展过程的教学[3]. 概念教学不仅让学生掌握基本概念和相关结论，更重要的是要让学生理解数学问题是怎样提出的、概念是如何在具体问题中形成的、结论是怎样得到的、证明的思路是如何而来的、计算的难点是如何突破的. 概念教学的过程实际上是数学思维迁移的过程，更是数学思维能力提升和发展的过程.

4. 概念教学要注重师生的同频发展

俗话说：“要给学生一杯水，教师必须要有一桶水.”这句话说明教师要想教好学生必须不断提高自身的专业素养.概念课的教学对于教师和学生而言都是再学习的过程，是同频发展的过程. 一名数学教师仅仅会解题是远远不够的，要站得高看得远，他所教的学生才能视野开阔，问题的认识才深刻;要有先进的教学理念和刻苦钻研精神，他教的学生接受能力才强，接受速度才快，才会有恒心和毅力. 因此我们要积极参加一些正规的教研活动，聆听一些高质量的专家讲座，多阅读一些专业书籍，多反思一些数学问题，在教学中注重师生的同频发展.

作为一名数学教师每天都在重复着昨天的故事，但是故事的发生、发展以及结果却又是耐人寻味的. 文章从“等号”中来又从“不等”中去，带给我们无尽的思考和启发.教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞.概念教学不仅仅是告诉学生一个未知的东西，更是让学生体会概念形成、发展和运用的过程，是一个思维迁移的过程，更是师生共同发展的过程.

参考文献：

[1]  吴立宝，康岫岩. 学习方式的五个转变[J]. 教学与管理，2015（12）：1-3.

[2]  杨志文. 稚化思维让概念教学回归本源[J]. 中学数学教学参考，2016（10）：33-34.

[3]  文卫星. 浅谈数学概念课教学[J]. 中学数学教学参考，2016（z1）：20-24.