立足“生长数学”，落实概念教学

袁良同

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【摘 要】“生长数学”主张教师创设具有生长力的数学课堂，从数学思想角度设计教学，从而使数学教学聚焦核心素养。教师在“变量与常量”的概念教学中，通过创设情境、归纳类比、挖掘内涵、学科联系、课堂练习、课堂总结、课堂巩固，让学生在情境中搭建概念生长路径，提高学生的学习能力、动手能力和知识水平。

【关键词】教学设计;生长数学;概念教学;变量与常量

一、教学设计

1.指导思想与理论依据

“生长数学”主张教师创设具有生长力的数学课堂，让学生在问题中生长思维，在探究中生长学力，从感悟中生长品格，从内化中生长素养，让学生在课堂经历一种成长、见证一种成长[1]。在笔者看来，“生长数学”聚焦核心素养，与“生本课堂”一脉相连。在本节课的教学设计中，笔者立足“生长数学”理念，从学生熟悉的生活实例引入课题，让概念在情境材料中孕育生长，在归纳类比中形成，在挖掘内涵中深化，在实际应用中巩固提高，使学生体验发现、创造数学知识的乐趣。

2.教材分析

本节课是“一次函数”这一章节的起始课，教学内容是让学生学习变量与常量的概念，在具体实例中辨别变量与常量，体会变量与常量相对于某一变化过程。中间渗透着对应思想、变量思想、模型思想、函数思想，在后续的学习中具有重要的地位[2]。自本节课起，数学的研究对象将发生变化——由数值不变的常量到数值变化的变量，这是初中数学继有理数概念的形成、用字母表示代数式后的又一次质的飞跃。

3.学情分析

本节课的执教对象是山村学子，笔者对学生的具体情况不太熟悉，但活泼好动、思维敏捷、表现欲强是八年级学生的共性。八年级学生已经学习了用字母表示数、代数式和平面直角坐标系等相关知识，具有从实际问题抽象出数学问题的能力。基于以上考虑，本节课的概念教学立足于“生长数学”理念，遵循从具体到抽象、从感性到理性的认知过程，让学生从现实生活中提出问题、分析问题和解决问题。

4.教学目标

（1）通过具体情境，教师让学生了解具体变化过程中有些量不变，有些量的数值变化，进而生成变量与常量的概念。

（2）通过在实例中寻找变量与常量，学生能够辨别具体变化过程中的变量与常量;利用变式训练，教师引导学生体会变量与常量是针对某个具体变化过程而言的。

（3）在师生互动、生生合作、问题解决中，激发学生探究问题的兴趣，培养学生的探索精神，让学生获得成功的体验，感受数学的应用价值。

5.教学重难点

（1）教学重点：在实例中获得变量与常量的概念。

（2）教学难点：能够辨别复杂情境中的变量与常量，理解常量与变量是针对某个具体的变化过程而言的。

二、教学过程

1.创设情境，孕育新知

（1）课堂组织，自我介绍。

师：同学们好，我是来自庐江县的袁老师，今天这节课将由我和大家共同来完成。希望在接下来的四十分钟里，老师和同学们都能留下一段美好的回忆，也希望同学们的表现能让老师为你们喝彩，令听课的老师眼前一亮！

（2）出示地图，创设情境。

师：在上课之前，老师用地图查了一下从老师的学校到同学们的学校的一种行车路线，总路程有231.5 km。假设汽车以60 km/h的速度匀速行驶，那么这个行车过程就涉及一道行程问题。同学们能帮老师解决下列问题吗？

（教师出示问题。）

问题1 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶的路程为s（km），行驶的时间记为

（h）。

① 研究对象涉及哪些量？

② 完成下面表格。

/h

1

2

3

4

5

……

s/km

……

③ 填完表后想一想：兩个量之间有何关系？

④ 哪些量改变？哪些量不变？

问题2 两地相距231.5 km，汽车以60 km/h的速度匀速行驶

（h），汽车离某地初中的距离记为s′（km）。这里的研究对象涉及哪些量？s′与

之间有何数量关系？在汽车行驶过程中，哪些量改变？哪些量不变？

图1

问题3 （教师播放加油机加油视频，出示图1。）行车途中师傅停车加油，请大家观看视频后思考：这一变化过程中存在哪些量？如将油量记作x（升），金额记作y（元），那么x、y与油的单价之间有何数量关系？哪些量改变？哪些量不变？

【设计意图】数学源自生活，教师借助具体问题让学生感知每一个变化过程会涉及不同的量，其中有些量不变，有些量发生变化。在实例中渗透变量思想和函数思想，逐步生成变量与常量的概念。学生观看加油机加油视频，直观感受金额y随油量x的增大而增大，将数学抽象具体化、直观化、形象化。

2.归纳类比，形成概念

（1）合作探究：上述三个问题的变化过程中出现的量，你能将它们进行分类吗？说说你分类的依据。

（2）交流反馈，生成概念。

【设计意图】从数量关系入手，利用生活积累、动态视频、填表练习、求值训练来帮助学生了解具体变化过程中有些量不变，有些量变化，在具体问题中孕育出常量和变量的概念，为第2课时引出变量间的单值对应关系进而学习函数做铺垫。在归纳类比中，教师抓住变量与常量的本质特征，在数学抽象、数学建模中培养学生的数学核心素养。

3.挖掘内涵，深化概念

例1 找出下列问题中的变量与常量。

[教师出示教材第71页问题（3）、问题（4），题略。]

例2 变式训练，厘清关系。

① 在匀速直线运动中，汽车以v（km/h）的速度匀速行驶

（h），行驶的路程记为s（km）。其中常量是，变量是。

② 一段定值为s（km）的路程，司机以不同的速度v（km/h）驾车行完全程，所需的时间为

（h）。其中常量是，变量是。

【设计意图】概念的辨析要从内涵与外延两个方面入手，内涵确定概念的本质属性，外延界定概念的范围。在例题中训练学生怎样区分变量与常量，关键是抓住概念的内涵——在某个变化过程中，研究对象的值是否发生改变，即是否可以取不同的值。教师引导学生深挖概念的内涵，探寻概念的外延，让概念扎根、生长于学生的脑海中。

4.学科联系，反思内化

例3 如图2所示，在一定范围内，弹簧拉伸的长度与所挂物体的质量有关。其中，x轴表示悬挂重物的质量（kg），y轴表示受力后弹簧的长度（cm）。

图2

① 根据图像填写下表。

物体质量x/kg

0

1

2

3

4

……

弹簧伸长长度/cm

……

受力后弹簧的长度y/cm

……

② x与y之间有何数量关系？

③ 在上述变化过程中，常量是什么？变量是什么？弹簧伸长的长度与所挂物体的质量之间有怎样的关系？

【设计意图】加强学科之间的纵向联系，让学生将所学概念迁移到物理学科中，让概念在课堂上茁壮成长。在实例中巩固概念，抓住概念内涵，让学生体验变量之间的依赖关系，在表格、表达式中体会变量间的对应关系，为接下来的函数学习埋下伏笔。

5.课堂练习，发展思维

练习一 请找出下列公式中的变量与常量。

① m水

ρ水V;② G

mg;③ S△A

C

12ah。

练习二 夏季是溺水的高发季节，学校准备进行“珍爱生命，远离溺水”宣传活动，需要制作宣传单。校园附近有甲、乙两家印刷厂，制作宣传单的收费标准分别为：甲印刷厂一律按每张0.15元收费，乙印刷厂500张以内（含500张）每张按0.20元收费，超过500张部分按每张0.10元收费。

① 设宣传单印数为x张，在甲、乙两家印刷厂印刷时收费分别为y1元、y2元，请写出y1、y2与x间的关系式，并指出其中的变量与常量。

② 当宣传单印数为800张时，选哪家印刷厂印刷比较划算？

练习三 列举变量与常量在生活中的应用实例，说说在你所举的例子中哪些研究对象是变量，哪些研究对象是常量？

【设计意图】在实际运用中发展学生思维，训练学生用分类讨论思想解决方案选择性问题，培养学生的语言表达能力。学生的举例就是课堂教学效果的检验。学生能够正确举例、讲清楚具体实例中的变量与常量，说明课前预定的目标在课堂教学中得到了落实。

6.课堂总结，反思提升（略）

7.课后巩固，深化提高（略）

三、教学反思

1.理解数学

数学是一门思维严谨、逻辑性强的学科。教师在数学课堂上要精心设计合理的教学过程，让学生在情境中经历、感受、体验数学。在一些学者的眼中，数学的学习过程就是不断学习数学概念的过程，概念教学在数学教学中具有举足轻重的地位。一般地，概念教学要经历引入、形成、运用巩固三个阶段，筆者在生活情境中播下概念的“种子”，让它在师生互动、生生合作的探究中发芽生长，在归纳类比中形成概念、深挖概念内涵，在学以致用中辨析、应用、巩固概念，将“生长数学”理念贯彻在课堂教学中。

2.理解学生

学生是数学学习的主体，课堂教学要处理好学生主体地位和教师主导作用的关系，注意创设“生本课堂”[3]。本节“送培送教”课，学生面对众多来听课的陌生教师，他们在课堂开始阶段难免会紧张。如何引导学生在课堂积极思考、主动探究、乐于交流、大胆发言是执教者迫切需要解决的问题。在课堂教学中，教师要善于用微笑拉近师生间的距离，用亲和力来消除隔阂，联系学生的生活实际来举例，设法调动学生学习的积极性、主动性，在因势利导、适时调控中努力营造师生互动、生生互动的课堂氛围，将学生的主体地位和教师的主导作用和谐统一。

3.理解教学

本节课作为一节“送培送教”课而不是一堂优质课或评比课，教学定位是向同行展示教学理念、教学方法与教学技巧。纵观课堂教学过程，笔者注意践行“生长数学”理念，让学生在情境中生长思维;紧扣研究对象，在情境中搭建概念生长路径，提升学生的学习能力、动手能力和知识水平;在例题学习、变式训练和学科联系中生长素养，丰富生长经验;最后的归纳反思，更让学生的思维品质、生命品格和精神价值得以生长和提升。

参考文献：

[1]卜以楼.“生长数学”：数学课堂教学的愿景[J].江苏教育（中学教学版），2017（11）：33-35.

[2]何萍，彭希鹏.立足核心问题，展示概念教学：“常量与变量”的教学与反思[J].中学数学（初中版），2017（6）：13-15.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.