巧用“配凑法”解决数学问题 ,提升教学效率

谢树文

【摘要】高中数学中，数学思想方法是一个重要的内容，它贯穿于整个高中数学，而“配凑法”是其中一种常用的，相对简单易懂的方法，教师在数学课堂教学中根据不同的内容，有意识地培养学生运用“配凑法”解决相关问题，既锻炼了学生的思维，也使学生掌握了这种数学思想方法。

【关键词】配凑法;数学思想方法;学以致用

“配凑法”是高中数学中的一种常用解题方法，“配凑”就是通过恰当的拼与凑，使问题简洁、明了，从而达到比较容易解决问题的目的;它实质上是一种迂回的解题方法，体现了化归的思想它指的是在解答数学问题的过程中，巧妙地配、凑一些适当的数、或式、图形，以获得或化归成利于解答的形式，在函数、三角函数、不等式以及数列等多个内容都有应用。笔者在教学实践中总结了“配凑法”的几种用法，下面举例说明。

一、“配凑法”在三角函数的诱导公式中的应用

1.化简： ;  2.求值： 。

分析：这两道题中的角：，;都超出了（0，2）的范围，不能直接求出结果，要先运用诱导公式一： 或  把化为（0，2 ）的角，然后再运用诱导公式化为锐角三角函数，从而求出结果。

解：（1）

;

（2） 。

在（1）中，把5 拆成配凑成 的形式，从而运用诱导公式一化简;（2）中，把配成 （），再运用诱导公式一转化为锐角三角函数即可求出结果。

二、“配凑法”在两角和差的三角函数中的应用

在求解两角和差的正弦、余弦、正切的三角函数值，特别是在逆用公式时，经常要用到配凑法，通过把已知函数式配成两角和差或二倍角的形式，或者化为y=Asin（） 或y=Acos（）+B的形式，从而使问题容易得解。

1.求函数f （x）= 的最小正周期.

解：f（x）=

，

所以函数f（x）的最小正周期是2。在这道题中，直接逆用两角和差公式把函数式配成了两角差的正弦，从而求得函数的最小正周期。

2.求函数f （x）=sinxcosx-sin2x的单调递增区间。

解：f（x）= sinxcosx-sin2x == sin（2x+） ;

由， 得故f （x）的单调递增区间是[]，（kZ）.

在这里运用了二倍角的正弦和余弦的三角函数公式把函数式化成了asinx+bcosx的形式，再运用三角函数的归一公式配凑成两角和差的正弦，继而求得函数的单调递增区间。

3.已知，且，求的值。

分析：因为 ，所以故只需求出及即可。

解：   由   ，cos ，得

，由，得;所以

在这里，通过运用配凑法，由可直接运用两角和差的三角函数解决了问题，从而简化了计算。

三、“配凑法”在求函数解析式中的应用

用配凑法求函数的解析式是一种常用方法，方便快捷，但有一定的技巧性，要求较高，可以培养学生的思维的灵活性。

1.已知函数f （x+1）=3x+2，求f （x）的表达式。

分析：由f （x+1）=3x+2=3x+3-1=3（x+1）-1，从而得f（x）=3x-1.此题中，由于自变量为x+1，故右边的式子应配成含x+1的代数式，而运用配凑法能较快地解决问题。

2.已知函数f （）=x+ ，求f （x）的解析式。

解：因为f （）=x+，所以x0， ，所以f（）=x+==.所以f （x）= （x1）.

3.已知函数，求函数f（x）的解析式.

分析：抓住函数中的倒数关系，对于已知函数式 ①，配凑成对偶式（上式中的x，用代替）： ②，變形：①+②2得，故的解析式为.

这三道题都是求函数的解析式，而通过运用配凑法，很快就求出了结果，比起用换元法求解更直接，学生容易理解。

四、“配凑法”在基本不等式中的应用

在求函数的最大、最小值时，经常运用基本不等式求解，但有时已知的函数式并不符合基本不定式的一般形式，这就需要进行适当变形，配成一般形式，然后再运用基本不等式求解。

1.已知x>4，求函数y = x+ 的最小值。

解：因为x>4，所以x-4>0，

所以y =x+= x-4++4 当且仅当x-4=，即x=5时，等号成立。所以x>4时，函数y=x+ 的最小值为6.

2.已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。

分析：由已知条件，不能直接求出x，y的值，所以也不能求出和的值;故可以利用已知x+2y=1，把和中的分子1用x+2y代换，然后构造出能运用基本不等式求解的代数式。

解：因为x>0，y>0，且x+2y=1，，所以= ;当且仅当 ，且x+2y=1，即x=时，等号成立。所以x>0，y>0，且x+2y=1时，的最小值为 。

3.已知X R求函数y = 的最小值。

分析：这道题的式子不符合基本不等式的一般形式，因此需要经过变形，配成一般形式，然后才能运用基本不等式去求解。

解：y==，当且仅当，即 时，等号成立。所以函数y= 的最小值为4- 。

此题由于要考虑等号成立的问题，故把配成了，从而符合了运用基本不等式的三个要素，“一正，二定，三等号;”就可以运用基本不等式求出函数的最小值。

五、“配凑法”在数列中的应用

在数列中求数列的通项公式和求前项和中也经常用到配凑法。

1.已知数列满足求数列的通项公式。

分析：从已知等式直接来看数列既不是等差数列也不是等比数列，所以不能直接写出它的通项公式;注意到等式的左边和右边的项含有和这两个连续项，所以可以通过在等式两边加上一个数1，然后在右边提出公因式2，得到=2（），从而得，又因为，所以新数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以， ， 故数列的通项公式为。

2.已知，求数列的和：1+x+...+nxn-1。

分析：令1+2x+...+nxn①;①两边同乘以（配凑成错位同类项），得nxn-1 ②， ①-②得，所以。

这两道数列题都是通过运用配凑法，变形为熟悉的类型，便于学生理解，掌握。

六、配凑法在解析几何中的应用

在圆、圆锥曲线的有关问题中也可以使用配凑法。

1.方程x2+y2-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是________。

解析：把x2+y2-4kx-2y+5k=0方程化为圆的标准方程的形式得：（若此方程表示圆，则必须

2.已知椭圆x2+（+3）y2=（>0）的离心率e=，求实数m的值。

分析：椭圆方程可配为，因为，所以，所以，由e=，得，所以=1.

综上所述，“配凑法”是一种常用的数学解题方法，简单易懂，可以使复杂问题简单化，从而使解题过程简化，提高解题的效率，故可在平常的教学中有意识地运用，并让学生熟练掌握，学以致用。

参考文献：

[1]人教A版高中《数学》必修4[M].人民教育出版社，2014.

[2]高中新课标配套用书《全优课堂》数学必修5[M].新世纪出版社，2015.

[3]普通高中课程标准实验教科书数学必修5[M].人民教育出版社，2016.