等差数列前n项求和的理解与探究

☉江苏省常熟市尚湖高级中学 马怡平

很多同学在学习过程中，采用题海战术，为的是抓住高考的脉络重点，但是高考题型层出不穷，变幻多端，题海战术只能暂时地提高学生的答题能力，而真正提高答题能力的关键是要理解数学公式的原理及思想方法.老师作为引路人，更要注意这一点，并在教学过程中注重让学生主动思考，以激发他们的创造能力.

一、分析案例

课本中运用高斯加法来计算等差数列前n项的和.以一位教师的分析为例：

（1）求和：1+2+3+…+100=？大多数学生利用高斯加法直接写出了答案，即1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050.

（2）若是上式再加101，即1+2+…+100+101能快速求和吗？

有学生认为：

还有同学认为：

如此看来同学们已经能很好地利用高斯加法了.

（3）若上式变为：1+2+…+n（n∈N*），那么它的和为多少呢？

有学生说：高斯加法可以完美地解决问题（1），是因为求和个数是偶数.以此观之，上式可分为两种情况：

①若n是偶数，则与高斯加法完美契合，首末相加为n+1，推算得

②若n是奇数，易得居中的数为，去掉中间数，剩下的共有n-1个数，首末相加为n+1，共计个n+1，推算得.这位学生分情况讨论了这个问题，而这也是学生需要熟练掌握的整合与转化的思想.

有学生认为：奇偶求法一样.当n是奇数时，那我们可以构造偶数，求出，即可得.这位同学用的也是转化思想，将陌生的问题转变成熟悉的问题.

老师问同学们是否还有其他方法来解决上述问题.学生开始重新思考，但还是一筹莫展，多项求和分类法最为常见.老师开始引导学生思考，让他们从头开始，现有的方法是将其变成相同的数相加起来，那除了分类，还有其他方法可以做到吗？可以不分类讨论吗？可以将算式重新编造吗？这时有位学生想到了：我将算式改一下，变成n+n-1+…+2+1，即可得到：

这位老师的案例分析是让学生自主发现倒序相加法，并自主推导公式，一切过程水到渠成，在解决问题的过程中发现新问题，教学过程合理且富有趣味性，激发了学生的求知欲和探索欲，学生得到的不单单是1+2+…的结果，还有求知过程中体会到的分析问题和解决问题的方法，这是大有裨益的.但是数学就是由一系列问题组成的，这位教师的问题过于细致，以致于笔者认为他的问题设计完全禁锢了学生的思维能力，学生一直按照老师的套路在走，整个过程过于自然，让笔者对学生掌握这类方法的使用程度持怀疑的态度.

二、复习高斯加法

学生几乎没有接触过这类无穷无尽的数相加的问题，那么我们该如何运用已经学过的知识去解决这类问题呢？“最近发展区理论”认为，学生有两种发展水平：一是学生原有的水平，是指学生可自行解决问题的水平；二是学生可能发展的水平，是指学生通过学习可提高的水平.两者之间只存在最近发展区的差异.我们的教学内容应尊重学生的最近发展区，给他们提供有难度但可以自行解决的题目，让其体验到解决问题的乐趣，丰富其知识，从而晋升到下一个层次.

1.进一步认识高斯加法

对于数列求和，学生的基础只有加减乘除，那么如何解决这个问题呢？高斯加法的本质其实是加法结合律：1+2+…+99+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50，这种方法是新课程理念所倡导的，根据已有的加法结合律，对数列进行求和，即把1+2+…+100变成101×50.这是学生在解题过程中对知识的利用与探讨，这无疑可以使学生更上一个台阶.

2.对高斯加法思想的应用

学生经过思考，肯定会有人想出方法，这种思考方式是一种引导，也是一种激励，更是一种探索，大家所思考出来的方法，可以很清楚地知道这是解决1+2+…+100的求和思想方法，也是上述所说的最近发展区，那么对于1+2+…+100+101的求和，大家也肯定是手到擒来，如下方法也会自然产生：

评价：（1）已知1+2+…+100的方法来看1+2+…+100+101的问题，可分成两部分，即1+2+…+100和101.

（2）提出51，其余数为100个，可分为两部分，即1+2+…+50+52+53+…+101+51=50×102+51.

方法：（2）提取51使其变成偶数，我们也可以加102使其变成偶数，这也是一种方法.其实求1+2+…+n-1+n的和，就是将1+2+…+100推广至一般情形，将1+2+…+100的计算方法进行挪用重组，但n的奇偶性是未知的，第一种情况，n为偶数，上式共有组，每组都为n+1.第二种情况，n是奇数，易得n+1是偶数，上式分为个n，和1+2+…+100+101类似，其他分组也是行得通的.上述问题的解决方法都是偶数个数的求和，万变不离其宗.

3.如何形成倒序相加

上述的解决方法对于奇偶性的讨论是必要的，若是偶数则较为容易，若是奇数则有点烦琐.那么有没有一种方法对于奇数和偶数都适用呢？对于这个问题学生其实很难去下手，因为偶数配对简单，但对于奇数来说，无论如何也无法进行配对，必须提取或者添加，同学们就需要再次思考上述问题的使用方法能否更近一步，很长时间的讨论使得大家发现如果在原式上再加一个1+2+…+（n-1）+n的话，就是2n个数的和，2n必定是偶数，这样就可以分成n组，即n个（n+1）的和.

其实倒序相加法仍是变相的加法结合律，去探索这个问题的学生，其思考产生的效益对其是大有裨益的，而且思维的过程会比技巧来得更加重要.

4.从根本去探索

很多老师在教授等差数列求和的内容时千篇一律，按部就班，先介绍高斯加法，然后告诉同学用倒序相加来求解等差数列，其实这个过程锻炼的只有计算能力，学生对于高斯加法和倒序相加法的理解仍旧很片面，而且其思维的创造性也无法得到有效的提高.如果有一题“计算1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n的和”，就会有同学怀疑倒序相加真的有用吗？其实经过分析不难发现，1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n的第一项与第二项相加为-1，第三项与第四项相加为-1，…，第2n-1项与第2n项相加为-1，共有n组，易得1-2+3-4+…+（-1）2n-1·2n=-n，其实每一个问题都有它的解决方法，其解决方法大多是类似题型的解决方法的延伸，就像等差数列求和，说到底都是算式的重组.以等差数列为例，an=a1+（n-1）d（d是等差数列{an}的公差），先将a1+a2+…+an进行重构，视为a1+a1+…+a1（n个a1的和）和［1+2+…+（n-1）］d的和.其实这样做的目的能涉及1+2+…+（n-1）的已知答案，故容易得出

综上所述，等差数列的求和就是算式的重组，利用旧知识来解决新问题，把复杂问题简单化，这就需要同学们熟练掌握并运用基础知识与公式，解题时要深入挖掘其本质内容，解不解的出其实无所谓，注重的就是思考的过程.思考的过程就是学生对知识重新理解的过程，因为思维方式及思维方法才是真正提高能力的关键.其次，对于公式也要重视，公式就是最好的例题，能够正确理解公式的推导过程对解题来说是很有好处的.