感悟数学思想方法，寻找“集合”探究路径

江苏省东海县石榴高级中学 时召进

“集合”作为苏教版数学必修一的第一章内容，从地位上起到了连接初高中、承上启下的重要作用，为今后的数学学习奠定扎实的基础。

一、数形结合思想

韦恩图和数轴的应用就是“集合”里面数形结合思想体现得最充分的方面。教材第6页，子集的定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作

教科书在这里引入了韦恩图，利用韦恩图来诠释子集的定义。若不利用韦恩图，那么对于子集的定义将是纯文字的叙述，对于学生来说，一是不容易理解，二是不直观。但是加入了韦恩图之后，再来解释和理解这个定义就非常清晰了，韦恩图将子集的定义表达得非常直观。“A中的元素都是B中的元素”这句话，文字定义确实是非常准确，但是理解起来不容易，而韦恩图刚好弥补了这一缺陷，从韦恩图中可以非常直观地看出“A中的元素都是B中的元素”，这也就是数形结合非常重要的作用，将不直观的代数问题用直观易懂的几何图形表达出来，大大地降低了问题的难度，也给我们解决问题提供了一种新的思考方法。

在集合这一章除了韦恩图，数轴的利用也充分体现了数形结合的思想，具体例子如下：

由上面例子不难看出数形结合的重要性，其使得问题容易解决，拓宽了学生的思维广度。

二、类比的思想

在数学学科中，如果能够拥有类比的数学思想，将某些类似的概念或者事物进行对比，找到共同点和不同点，不但更容易记忆，而且更容易理解。类比思想在“集合”中也有非常明显的体现，例如教科书第6页的思考：

实数集合类比表

类比思想在整个高中的教学学习中都非常重要，在后期的学习中，例如指数函数和对数函数的类比学习，等差数列和等比数列的类比学习，等差数列的前n项和公式可以类比梯形的面积公式记忆，立体几何中部分立体图形中的性质也可以由平面图形的性质类比得到等。

三、函数与方程的思想

函数与方程的思想是将问题转化为能够利用函数的性质求值的问题，或者能够在变量关系中找到变量满足的一些关系，列出方程或方程组，利用方程或者方程组的性质去解决问题。例如：

例题 已知不等式2x2+px+q＜0的解集是-2＜x＜1，求不等式px2+qx+2＞0的解集。

在这里，p，q是两个变量，根据解不等式的方法原理以及韦达

四、极限的思想

极限的思想是一种思维上质的飞跃，如果能够学到极限思想，那么学生在考虑问题的时候就会更加游刃有余。例如：

例题 A={x∈ N | 0＜x＜3}，B={x∈ R | 0＜x＜3}，问：A，B 中的元素有多少个？最大的元素分别是多少？

对于集合A，学生容易得到有2个元素，最大元素为2，但是集合B中元素有无数个，对于最大元素的探究，学生就可能经历2.9，2.99，2.999…一直到发现并没有最大元素的一个思考过程，此时教师可以提示学生，集合B中的元素只会无限地接近3，但是永远取不到3。这便是一种极限思想的体现，让学生能够以一种新的视角来看问题。

近年提出的学科核心素养中，就要求中学生具有数学建模的数学素养，可见数学建模的思想非常重要。