一道八上期中压轴题的探究与反思

江苏省兴化市板桥初级中学 邹连成

一、题目

已知△ABC 中，边AB=AC=17，BC=16。

（1）△ABC的面积为__________；

（2）已知点E是BC的中点，以AB为斜边在△ABC外构造Rt△ ABD。

①如图1，求线段DE长度的最大值；

②如图2，当AD=BD时，求∠BED的度数。

图1

图2

对于第一问，大部分学生是比较容易解决的，而对于第二问的长度最值问题、度数问题，难度有所上升，对于考生的能力要求也更高。

解：（1）连接AE，利用等腰三角形和勾股定理的知识，可以顺利求出AE=15，则S△ABC=120。

下面先展示参考答案关于问题（2）的全部解答过程。

（2）①如图3，取AB中点F，连接AE、DF、EF。∵AB=AC，BE=CE， ∴ AE⊥ BC， ∴ ∠AEB=∠ADB=90°， ∵AB=17，∴AF=EF=AB=8.5，∵DE≤DF+EF=17，∴线段DE长度的最大值为17。

图3

图4

②如图4，取AB中点F，连接AE、DF、EF，同①可知DF=EF=AF，∴∠FAE=∠FEA。设∠FAE=∠FEA=α，则∠BFE=∠FAE+∠FEA=2α，∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴∠BFD=90°，∴∠DFE=90°∴∠AED=∠FED+∠FEA=45°，∴∠BED=∠AEB-∠AED=45°。

二、解法探究

学生在第二问的解答过程中，由直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，可以自然联想到取边的中点，然后连接AE、DE、EF，快速求出DF=EF=AB=，难点在于如何利用长求出最大值呢？学生在此处“卡住”，那怎么解决这个问题呢？笔者进行了如下的探究。

我们可以将这三条线段抽象出来，如图5，那么问题就化简成DF、EF两条固定长度的线段绕点旋转，则≤DE≤DF+EF，则DE≤，则DE≤17，所以DE最长为17。

图5

对于最后一问，笔者从以下几个方面入手去解决这个问题。

解法一：仍然采用第二小问的辅助线连接方式，然后用代数方法去解决几何问题。

如图6，直接设∠DEB=x，∠DEF=y，因为DF=BF=EF，所以∠FBE=∠FEB=x+y，∠FDE=∠FED=y，因为AD=BD，所以∠DFB=90°，又因为∠DOF=∠BOE，所以x+y+x=y+90°，所以x=45°。

解法二：由图可以猜想出DE是∠AEB的角平分线，那么如果能证明这个猜想是正确的，即可把∠BED的度数算出来。

如图7，连接AE，过点D作DF⊥AE于F、DG⊥GC交CB的延长线于点G，因为AD=BD，∠ADB=90°易证△ADF≌△BDG，所以DF=DG=GE，所以∠DEB=45°。

图6

图7

图8

解法三：由等腰直角三角形，可以顺利联想到“一线三直角”。

如图8，因为AD=BD，∠ADB=90°易证△AFD≌△DGB，所以AF=DG=GE，所以∠DEB=45°。

解法四：在研究一些复杂几何问题时，我们经常把图形旋转后再研究，最常见的就是“遇等腰则旋转”。

如图9，将△BDE绕点D逆时针旋转90°得△ADE'。因为∠ADB=∠AEB=90°，所以∠DBE=180°-∠DAE，所以∠DAE'+∠DAE=180°，所以E'、A、E三点共线，又因为DE'=DE，∠E'DE=90°，所以∠DE'E=∠DEB=45°。

或者可以将△ADE绕点D顺时针旋转90°得△BDE'，如图10，证明方法同上。

图9

图10

三、教学反思

1.引导学生敢于动手画图，培养探索精神

几何数学的学习一定是在动手操作中发展起来的，学生面对比较复杂的几何问题时，第一反应往往是图形太复杂了，肯定做不起来。这首先是个信心问题，教师在日常教学工作中，要多鼓励学生动手去画，去勇敢尝试。学生自己可以画出来的图形，教师绝不包办，画不出来的图形，尤其是辅助线的画法，教师可以步步引导，讲明、讲透作法的原因，并且给学生最正确的示范作法，防止学生出现作法不规范的情况。总而言之，几何问题一定要让学生敢于动手画图，不要怕失败，只要坚持，一定会有成功的一天。

说到辅助线的画法教学，就拿本题作简要的分析。这里面的三个小问题，并不是单独的，它们其实是层层递进，步步暗示的。第一问的面积问题，就暗示了必须要把AE连接起来，解决第二问时，就很容易看到两个直角三角形共有一条斜边，进而就提醒了考生，要取斜边中线。紧接着，第三问又承接第二问的辅助线的作法，利用代数方法很快就解决了这个问题。其实这些“线索”，学生通过现场动手画图完全是可以想出来的，所以教师在平时教学中，要时常渗透这一思想，当学生在做题过程中能自然地想到这些，那么我想他的数学思维就形成了。

2.加强数学几何模型教学，形成数学直觉

几何问题的解决一直是初中教学的一大难点，主要是因为几何定义、性质多且杂，学生记忆起来就很困难了，运用这些知识去解决问题就更难了。笔者认为，在日常教学中，可以多向学生介绍一些常见的几何模型，比如“八字形”“K型图”“筝型图”等。教师在介绍这些几何模型的过程中，灵活地将众多几何知识有机结合在一起，并用这些模型去解决问题，这样学生在感受的过程中，就把零散的几何概念整合了起来，运用起来也能更得心应手。当学生可以自觉地将几何知识统一运用的时候，那么几何学习就彻底活起来了。此外，几何模型的教学不仅可以帮助学生整合知识，更可以增强学生对几何学习的兴趣，甚至有的学生会下意识地模仿教师介绍的几何模型，去创造适合自己的专属模型。相比较照本宣科的单纯的概念教学，海量的题目覆盖，切切实实，认真准备一些专题几何模型教学课，我想可以真切地帮助学生减轻学习的思维压力。换种角度看，这也是一种减负。