基于数学核心素养的解析几何复习课

叶欣

[摘  要] 数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体. 高三复习课要通过设计合理问题，让学生在经历数学活动过程中，掌握知识、技能，感悟数学基本思想，积累数学思维和实践的经验，促使学生形成和发展数学核心素养.

[关键词] 数学核心素养;解析几何;复习课

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的. 数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.”数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成一个有机整体. 在高三复习课中如何落实数学核心素养？笔者认为数学核心素养是悟出来的不是教出来的，因此教学中要以“四基”为载体，把握数学内容的本质，通过提出合理的问题，启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流（自己“悟”），让学生在经历数学活动过程中，掌握知识、技能，感悟知识所蕴含的数学基本思想，积累数学思维和实践的经验，在这个基础上促使学生形成和发展数学核心素养. 实际上就是养成一种习惯、一种思维方式. 本文中笔者以高三解析几何的复习为例谈谈笔者对在复习课中发展学生数学核心素养的思考.

问题的提出

解析几何的教学内容、知识内容丰富，其中蕴含着丰富的数学思想方法，是培养学生数学思维能力，发展学生数学核心素养的重要载体，同时也是学生在学习过程中感到十分困难不易把握的内容. 在对学生访谈的过程中，笔者发现学生普遍认为解析几何就是大量烦琐的计算，由此可见经过高二年级的学习，学生并没有认清解析几何的本质，说明我们的教学还不到位. 实际上，解析几何研究的是几何问题，是用代数方法研究几何图形的几何性质. 教师在教学中有义务让学生经历一个清晰的研究过程，感受解析几何的本质：要解决怎样的几何问题——结合条件及图形分析几何对象的几何特征——将几何特征代数化（用代数语言描述几何要素及其关系）——通过运算解决代数问题——分析代数结果的几何含义——最终解决几何问题. 为实现这一教学目标，笔者对解析几何的复习内容进行了系列设计，在整理知识的过程中，让学生从知识、思想、方法等层面进行认识;在解决问题的过程中，采用“以‘形定向，以‘数定论”的教学策略.

整体把握教学内容，架构知识体系

学生经过高一、高二的学习后，进入高三年级时很多基本知识已经淡忘了，因此重新梳理知识是高三复习必须要做的一件事.以什么样的方式完成这件事？常见的方式有：教师在课上一条条罗列知识，让学生自己看书回顾知识，先进行课堂前测再针对学生的薄弱点有重点的梳理知识……笔者在多年的高三教学中，这些方式都尝试过，但总感觉效果不明显.究其原因，笔者认为学生在学习新知识的时候是一个点一个点进行学习的，高三复习如果仍是以点呈现，这些知识在学生头脑中仍是散点，复习时想起来了，过后就又忘了.高三复习绝不能是知识的简单重复，要引领学生建构知识、思想、方法的网络，让学生能站在高处俯瞰高中学习内容的体系.因此笔者在高三复习时采用了以思维导图统领全局，以阅读自学细化知识的方式引领学生梳理知识.

？摇在梳理整个解析几何专题知识时，首先引领学生建构整体框架，从研究对象、研究方法、研究本质、研究核心等方面让学生在整体上对将要复习的解析几何有整体把握.在这样一幅统领全局的思维导图引领下（如图1），再进入具体知识的复习，细化其中的内容，同时每一个章节的内容都力争让学生以思维导图的方式呈现.这样的方式让学生头脑中的“散点图”串起来，让学生头脑中模糊不清的知识建立起相关的联系. 在这个过程中，发展学生数学抽象素养.

？摇在梳理具体知识时，尽量建立知识间的联系. 比如椭圆和双曲线有很多类似之处，一方面，从知识结构上非常类似，它们都是通过分析几何条件得到相关定义，再依据定义在平面直角坐标系中将几何条件代数化得到标准方程，进而利用定义研究其几何性质;另一方面，依据定义、标准方程和几何性质解决的问题和解决问题的基本方法也比较相似. 学生在学习新课的时候就经常把它们弄混，在高三复习中，笔者尝试将二者放在一起采用类比的方法进行复习（如图2），通过不断比较它们基本知识的相同与不同之处，不断比较解决的问题及基本方法的异同，让学生在类比中将二者分辨清楚，更加深入理解这两种圆锥曲线.

以“形”定向，以“数”定论

在有关“直线与圆的位置关系”“圆锥曲线的几何性质”“直线与圆锥曲线位置关系”几个重点内容复习的过程中，均采用“以‘形定向，以‘数定论”的教学策略，即通过对几何对象的分析，实现对问题的不断转化，确定解题方向，将几何问题代数化，通过代数计算得到最终结论. 在“以‘形定向”的过程中，重点发展学生直观想象、逻辑推理等数学核心素养;在“以‘数定论” 的过程中，重点发展学生数学抽象、数学运算等数学核心素养. 通过对典型题目的分析、讨论，让学生掌握基础知识、基本技能，感悟基本思想，积累基本活动经验，在不斷解决问题的过程中，建构于反思，发展学生的数学思维能力.

1. 直线与圆的位置关系复习突出几何法

在直线与圆的教学单元，重点内容就是直线与圆的位置关系，解决问题的方法是几何法和代数法，几何法突出的是数形结合思想的运用，代数法则突出代数运算，从培养学生思维的角度而言，此处的教学重点放在几何法. 从知识梳理部分入手，以图形的方式加以呈现，分析图中的几何对象的几何特征，梳理几何法. 然后精选例题，引导学生通过对图形的分析，寻找图形的几何特征或是图形间的位置关系，进而转化为代数问题通过代数运算解决问题，这也正是解析几何的本质所在.

通过对这类问题的分析，重点在于对图形中几何对象的几何特征的分析，并将几何特征代数化，由此最终解决问题，这个过程中对几何对象的几何特征的分析同时发展了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养，将几何特征代数化，并最终解决问题着重发展了学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养.

2. 椭圆、双曲线的几何性质突出几何直观

在复习有关离心率的内容时，首先引导学生回顾离心率的定义和其几何意义，同时明确求解离心率关键是找到等量关系，可以充分利用已知条件挖掘题目信息，借助图形的直观性，由平面几何的知识寻求等量关系，即根据题设条件关系式，借助a，b，c之间的关系，转化a，c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的方程，从而解方程得出离心率e. 在教学中安排了以下系列问题引领学生不断深入分析理解：

本题从几何角度分析图形特征，可以利用等边三角形中点的性质，构造直角三角形直接求解;也可以利用等边三角形边角的性质或者等边三角形中位线的性质，得出点B的坐标，再利用椭圆方程得到关于e的方程求解;也可以利用等边三角形中点的性质及圆的相关知识，将点B看作是以（0，0）为圆心，以c为半径的圆与该椭圆的交点，进而得到关于e的方程求解.以上各种方法都建立在对于图形几何性质的分析，对于几何条件分析越透徹解法越简单，充分体现了“以‘形定向，以‘数定论”.

在对本题的深入分析的基础上，安排如下三个变式，让学生在运动变化中或图形载体变化后，进一步感受“以‘形定向，以‘数定论”.

为突破教学难点，提升学生的思维能力，教学中始终坚持“以‘形定向，以‘数定论”的教学策略，强化图形意识，抓住几何对象的几何特征，并将其代数化，通过代数计算解决问题. 通过巧妙利用图形特征，优化解题过程，力争减少计算量.

3. 直线与圆锥曲线位置关系突出数学思想方法的运用

直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何内容的重头戏，在长期教学实践中，发现由于学生不理解解析几何的本质，只是按照套路做题，有些学生甚至连图都不画，上来就是设直线方程与圆锥曲线联立，消元得到一元二次方程后，利用“韦达定理”列出根与系数的关系，然后再寻找有用条件进行分析，遇到稍微复杂的题目就只能碰运气. 高三的复习需要改变这种现状. 在这部分复习时，仍坚持“以‘形定向，以‘数定论”的教学策略，通过精选例题，并对题目的解题过程进行拆解，分项攻破各难点. 第一步，通过引导学生对典型题目的条件、对图形中几何对象的几何特征进行分析，合理设计解题思路，让学生在这个过程中体会数形结合思想、转化与化归思想，发展学生的直观想象和逻辑推理素养;第二步，依据解题思路选择恰当的方法进行代数运算，让学生在这个过程中体会分类与整合、转化与化归思想，提升学生数学运算能力，发展数学运算和逻辑推理素养;第三步，让学生对解决的典型问题进行反思总结，通过对数学方法、数学思想的回顾总结提高学生整体认识. 在这一系列过程中，让学生真正经历解决解析几何问题的一般过程：要解决怎样的几何问题——结合条件及图形分析几何对象的几何特征——将几何特征代数化（用代数语言描述几何要素及其关系）——通过运算解决代数问题——分析代数结果的几何含义——最终解决几何问题.

例如，笔者在教学中设计如下问题，帮助学生理解解析几何的本质和核心思想.

本问题的难点在于如何处理各问中的几何条件，要突破难点就要依据图形精准分析几何对象的几何特征，合理将问题进行转化.

第一问，转化策略是利用菱形的定义、中垂线的定义及判定：以CA，CB为邻边的平行四边形是菱形？圯CA=CB？圯C在线段AB的中垂线上？圯CD⊥AB（点D是线段AB的中点），由此可以设直线AB的方程与椭圆的方程联立得中点D的坐标，进而利用斜率乘积为-1建立关于k（直线AB的斜率）的方程的解题策略.

第三问，涉及两个三角形的面积，如何求三角形面积是本题的突破口：以OM为底，面积比可以转化为点A，B的纵坐标的比;以AM，BM为底，利用三角形相似可以转化为点A，B的横坐标或者纵坐标的比. 由此可以确定与第二问相同的解题策略.

第四问，转化策略是利用等腰三角形的性质，将PM平分∠APB转化为直线AP的斜率与直线BP的斜率互为相反数. 由此可以确定设直线AB的方程与椭圆联立，利用韦达定理与由条件转化而得的等式建立关于k（直线l的斜率）的方程的解题策略.

本问题以椭圆为载体，不断将图形和条件进行变化，引领学生通过依据图形，对其中的几何对象的几何特征不断分析和转化，最终形成清晰的解题策略，而后再由学生进行实际运算操作，通过代数计算解决问题，题目完成后对解决问题的反思是必需的，经过反思对解决问题的基本思想方法有明确认知.

解析几何复习课中落实数学核心素养

以发展学生数学思维能力，落实数学核心素养为目标的高三解析几何复习课的整体架构，就是从知识的整体架构开始，让学生从研究对象、基本思想和方法到解析几何的本质形成立体认知;进而细化到各知识点和思维方法，让学生在整体架构的基础上对知识本身和其应用方法有明确认知;最终在知识的应用过程中，始终坚持解析几何的本质，让学生经历解决问题的基本过程，在各环节中着力发展学生直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学素养，帮助学生深刻感知解析几何本质，养成一般性思考问题的习惯，能用数学思维思考问题，用数学语言进行表达.