“数学建模”素养的形成与提升策略探析

刘绿芹

[摘  要] 不同层次的数学建模素养水平需要采用不同的提升策略，在数学教学中，教师需要根据学生的素养水平，采用不同的教学策略. “前水平”着重采用“夯实地基”策略，“水平一”着重采用“特殊先行”策略，“水平二”着重采用“分割呈现”策略，“水平三”着重采用“探索联想”策略.

[关键词] 数学建模;素养水平;提升策略？摇

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课程标准”）中指出，通过高中数学课程的学习，让学生认识数学的应用价值，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验[1]. 作为新版《课程标准》中的六大核心素养之一的“数学建模”，有别于其他核心素养，其最能体现数学与实际紧密联系的学科素养. 江苏省《高考说明》也明确提出，要注重数学的应用意识的考查，要求学生能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决[2]. 因此，提升“数学建模”素养水平成了数学教学中的重点之一.

“数学建模”素养的内容及水平划分

数学建模是对现实问题進行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[2]. 根据《课程标准》，素养水平分为三个水平层次，根据学生的认知水平，逐级提高. “水平一”要求学生能够结构已学过的数学模型，了解数学建模的基本过程，并模仿解决基本问题. “水平二”要求学生能够在熟悉或关联的情境中，将发现的问题通过选择合适的数学模型进行转化，进而解决问题. “水平三”要求学生能够在综合的情境中，发现数学关系和问题，运用数学建模的一般方法和相关知识，创造性地开展数学建模活动，并解决实际问题.

“数学建模”素养的形成与提升策略

（一）“数学建模”素养的形成策略——强夯地基

学生“数学建模”素养形成的前提是需要学生拥有基本的数学知识，掌握基本的数学技能，我们把拥有了基本知识、基本技能称为学科素养“前水平”阶段. 学生只有达到了“前水平”素养水平的要求，才有进一步提升至“水平一”“水平二”“水平三”的可能. 因此，在开展提升学生“数学建模”素养水平教学活动前，教师可以采用“强夯地基”式的教学策略，为学生准备必备知识和方法，让学生达到“前水平”素养水平.

【教学片段】

师：两军舰同时从某军港出发，一艘以30 km/h的速度向正北方向行驶，另一艘以20 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶. 问：经过4 h，两军舰相距多远？

师：请画出军舰行经路线的示意图.

生：示意图如下：

师：这是什么图形？

生：三角形.

师：很好，这就是我们要构建的数学模型. 在解三角形时，我们有哪些知识可以用？

生：有正弦定理、余弦定理、任意三角形的面积公式及三角函数的知识，等等.

师：本题用什么方法解决呢？

从教学片段来看，教师选取了较为简单的“解三角形”实际问题，培养学生自我构建数学模型的意识，并体验了解决数学实际问题所需的基本知识——余弦定理. 实施“强夯地基”教学策略需要重点注重的三个方面：一是教学内容应选取学生常见或易于理解的问题背景，比如产销问题、行程问题、面积问题等;二是解决问题运用的基本知识或方法以一到两个为宜，比如正余弦定理、基本不等式、函数最值等;三是尽量通过问题串的方式引导学生自我发现与构建数学模型，体验数学建模的过程.

（二）“数学建模”素养的提升策略

在学生拥有了基本知识与基本技能后，即学生达到了学科素养“前水平”层次，接下来则面临提升“数学建模”素养的问题. 不同学生对素养水平的要求不同，有的需要达到素养水平一，有的需要达到素养水平二，甚至需要达到素养水平三. 因此，在不同的阶段，教师需要采用不同的教学策略，有针对性地开展数学教学活动.

1. “水平一”的达成策略——特殊先行

“水平一”是数学建模素养水平中的第一层次水平，要求学生能够在熟悉的实际背景中，了解数学建模的整个过程，了解其中数据的含义，并结合学过的数学模型，模仿建立新的数学模型，进而解决问题. 这就需要教师在教学过程中，着重培养学生通过模仿，形成整体把握问题的思维. 因此，可以采用“特殊先行”式的教学策略，即从寻找特殊、推广一般、建立模型、选择知识（技能）、求解模型、解决问题等过程中，一步步引导学生开展数学建模活动.

【问题一】资料表明，2000年我国工业废弃垃圾达7.4×108吨，每吨占地1 m2.环保部门每回收或处理1吨废旧物资，相当于消灭4吨工业废弃垃圾.如果某环保部门2002年共回收处理了104吨废旧物资，且以后每年的回收量递增20%.

问：（1）2010年能回收多少吨废旧物资？（结果保留两位有效数字）

（2）从2002年到2010年底，可节约土地多少平方米？（结果保留两位有效数字）

【教学片段】

师：如何理解每年的回收量递增20%？

生：例如2003年在2002年基础上，回收废旧物资增加20%，为104×（1+20%）吨.

师：2004年呢，2005年呢，…，2010年呢？

生：每年回收的废旧物资量如下，2002年：104吨;2003年：104×（1+20%）吨;2004年：104×（1+20%）2吨;2005年：104×（1+20%）3吨. 依次类推，可知，2010年：104×（1+20%）8吨.

师：104，104×（1+20%），104×（1+20%）2，…，104×（1+20%）8，这列数是什么数列？

生：等比数列.

师（追问）：如果我们把2002年当作第1年，请问第n年回收的废旧物资量是多少呢？

生：我们可以建立以104为首项，1+20%为公比的等比数列. 即a1=104，q=1+20%，则an=104×（1+20%）n-1.

師：第二问如何解决呢？

从教学片段来看，教师引导学生逐个列出2002年至2010年每年回收废旧物资的量，并让其结合已经学过的数列，发现“等比”规律，进而建立等比数列的模型. 在“水平一”阶段，实施“特殊先行”的教学策略过程中，选取的教学内容虽不能一眼看出模型类型，但学生能够“感觉”可能用到的规律. 同时，通过“特殊先行”验证自己的猜想，从而较容易地设定相关参数，并找出其中的规律及结论.

2. “水平二”的达成策略——分割呈现

“水平二”是数学建模素养水平中的第二层次水平，要求学生能够在关联的情境中，选择合适的数学模型解决相关实际问题，这其中，要求学生能够通过“确定相关参数、建立模型、完善模型、求解模型”来解决相关问题. 在现实问题中，往往会出现较为复杂的问题背景，这就需要学生能够将相关实际问题进行“分割呈现”，以达到各个击破的目的. “分割呈现”的策略需要从“背景分割、呈现参数、建立微模型、求解微模型”四个方面着手，通过多个微模型的求解，进而解决相关实际问题.

（1）求乙船每小时航行多少海里;

【教学片段】

师：请逐步理解题目中的每一句话，并请在图上标出相应的角度.

生：标示如图. （图3）

师：根据图形，你能求出哪些角？

生：∠ACD=60°.

师：你能求出AC吗？

师：你发现了什么？

生：该三角形是等边三角形，∠CAD=60°，AD=10海里，则可以求出∠DAB=105°-60°=45°.

师：很好，请将△ABD单独画出来，并标上数据.

生：如图. （图5）

师：由此图，怎样求BD及乙船的航速？

生：可以由余弦定理求解，BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos45°=100，故BD=10海里，则乙船的航速v=10×3=30（海里/时）.

师：很好，这样第（1）问即可解决.

该问题数据较多，背景看似复杂，教师要求学生逐个阅读题目中的每一个条件，并让其边读边在示意图上标注参数. 引导学生构建了两个小三角形△ACD和△ABD的模型，将实际问题转化为解三角问题. 在看似“折来折去”的问题中，教师采用分割呈现的策略，让学生看清了问题的本质，进而较为容易地建立了三角形微模型，并求解了微模型，解决了相关问题.

3. “水平三”的达成策略——探索联想

“水平三”是数学建模素养水平中的最高层次水平，要求学生能够在综合的问题情境中发现数学关系，并运用数学建模的一般方法和知识创造性地建立数学模型，进而解决实际问题. 这要求学生能够从实际问题中探索数学关系，并联想已有的数学建模方法，不断修正与尝试，从而创造出适合该题的数学模型. “探索联想”的策略需要从“提炼问题情境、探索关系本质、联想建模方法、建立新模型”等几个方面着手，形成在已有的数学建模方法的基础上，创造性地解决实际问题的能力.

【教学片段】

师：问题二中，第（2）问所说“危险区域”是什么图形？

生：圆.

师：甲、乙两船航行的轨迹是什么图形？

生：直线.

师：那本题考查的是什么内容呢？

生：直线与圆的位置关系.

师：处理“直线与圆的位置关系”问题，需要知道什么？

生：直线的方程和圆的方程.

师：那我们需要对该现实问题进行怎样的处理呢？

生：需要通过建立直角坐标系，将其转化为数学问题. 因此，建立如下的直角坐标系. （图6）

在教学过程中，教师引导学生对“危险区域”进行发现提炼，探索出该问题的本质是直线与圆的位置关系. 并引导学生联想到解决“圆与直线的位置关系”常用“建立直角坐标系”的方法，从而，较为容易地进行数学建模，求解模型.

结束语

任何数学学科素养水平的形成与发展，不可能一蹴而就，需要循序渐进、反复滚进，各种策略也要综合运用，“数学建模”素养也同样如此. 在教学过程中，教师需要对各种策略进行综合运用，着重“夯实地基”，不断“特殊先行”，多次“分割呈现”，经常“探索联想”. 只有这样，学生的数学建模素养水平才能得到不断发展、不断提升.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中课程方案[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]  2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）说明[M]. 江苏：江苏凤凰教育出版社，2017.