关注学生认知过程，促进数学概念建构

丁晓军

[摘  要] 数学概念的教学，需要以理论为指导，更需要重视学生的认知过程. APOS学习理论对于包括复数概念在内的多个概念的教学有指导意义，基于其四个阶段设计概念教学，可以让学生在一个合理的认知过程中，克服前概念的负迁移影响，有效地構建起数学概念. 同时在此过程中，还可以吻合数学学科核心素养的相关要素，从而实现核心素养的培育. 教师基于实践，研习理论，对于提高概念教学的有效性，是非常必要的.

[关键词] 高中数学;认知过程;概念建构;APOS学习理论

根据认知心理学的研究成果，人们一般认为学习过程是由认知支撑并促进认知发展的过程. 在高中数学教学中，概念教学是一个基础，这个基础体现在学生只有建立了对概念的真理解，才能在其基础上继续建构其他概念或规律，也才能实现数学问题的高效解决. 而在实际教学中，由于应试等原因，数学概念的教学往往被淡化，数学概念的教学逐步让位于习题教学，这就是所谓“考点（概念）知识习题化”所导致的结果. 近年来，概念教学重新受到重视，但对于如何实现概念的高效教学，目前还处于经验的重复运用与争论当中，没有形成真正的共识，实际上从认知发展的角度关心学生建构概念的过程，在数学概念的教学中真正寻找到一个坚实的理论基础，是非常必要的. 笔者通过研究与梳理发现，APOS理论有着重要的作用.

APOS理论是美国著名数学教育家杜宾斯于20世纪80年代提出的关于数学概念学习的理论，是一种具有学科特色的建构主义学习理论，被誉为近年来数学教学领域最伟大的理论成果之一……APOS理论指出，在数学教学的过程中，学生经历活动、过程、对象等阶段，一般能在建构和反思的基础之上，形成图式，产生问题意识，并自主解决问题[1].

显然，APOS理论不仅仅是面向概念的形成的，还是面向概念的理解与运用的，因而其能够让学生在一个系统的过程中完成概念建构，因而具有积极意义. 现以“复数”概念的教学，阐述笔者的简单思考.

传统复数概念教学的困境与APOS理论运用的可行性

经验表明，复数对于学生来说是一个非常抽象的概念，尤其是对于一些学困生来说，复数根本难以容纳到他们原有的认知体系当中去. 具体地讲，有这样几个方面的干扰：

一是前概念的干扰. 在学生原有认知体系中，已经经历过从自然数到整数，再到有理数，然后到实数等. 这个过程中，数的概念扩展了，数的运算规则也在增加，因此学生的认知系统也在被丰富. 如果梳理这一过程，可以发现每一次数的概念的扩展，都是相对比较自然的，学生是容易接受的. 而也正是因为这种自然与容易接受，使得学生内心对数的认识变得比较模式化，因而在复数概念（包括复数的运算法则）构建面前就只能具有低水平的思维定式. 显然，这对复数概念的学习是有负迁移的.

二是复数的表达形式的干扰. 某种程度上讲，形式的干扰实际上也是前概念的干扰，但笔者感觉还是有必要将其独立表达出来，这是因为复数的表达形式与传统的数是不一样的，如果说传统的数就是由阿拉伯数字表示的话，那复数的表达形式就是非常复杂的，比如说其有代数式a+bi（a，b都是实数），其有三角形式r（cosθ+sinθ），其还有点的形式（a，b）等，甚至还有向量形式与指数形式等. 在数学概念教学中，我们往往是忽视数学概念的表现形式的，往往都是认为用某个形式表示某个数学概念是天经地义的. 但对学生而言却不是如此，数学概念的表现形式对学生理解数学概念实际上有很大的影响. 比如学生大脑中以数字为代表的数，忽然变成了以多种形式为表现的数，这是“难以接受的”，是“想不通的”（均是学生的原话），这种难以接受与想不通，对学生接纳复数概念有着不可忽视的负面影响.

所有这些，都从实践角度说明了关注学生的认知过程对于数学概念学习而言确实非常重要. 同时，这样的事实与APOS理论相当一致. 该理论认为，一个人（学生）是不可能直接学到数学概念的，人总是通过自己的心智结构使数学概念产生意义的. 换句话说，只有学生拥有了恰当的心智结构，才能让他们顺利地构建起数学概念. 那么在APOS理论中，复数概念又应当如何构建呢？笔者结合APOS理论模型中的“四阶段模型”，形成的初步思考是：在操作（action）阶段，帮学生建立一个能够便于学生加工的数学对象;在过程（process）阶段，让学生经历一个不需要外部刺激而进行具体思维活动的构建复数概念的活动;在对象（object）阶段，让学生带着复数概念去操作相关的数学运算;在图式（scheme）阶段，让学生基于前面的理解产生一个相对稳定的关于复数的图式.

这样的分析至少从理论上证明了在APOS理论下实现复数概念的有效构建是可行的. 当然，是否真正可行，还需要在实践中加以验证.

在对学生认知过程高度关注过程中有效建构数学概念

APOS理论指导下的高中数学概念教学强调学习过程中数学活动的重要性，倡导教师构建直观的概念学习背景，引导学生在实践、思维运算和反思抽象等一系列数学学习活动中实现数学概念形式定义和本质理解的统一，丰富学生构建概念的过程，提升内化知识的效率[2]. 基于这样的判断，在复数概念的教学中，笔者基于学生的认知发展，进行了这样的设计与教学.

首先，创设一个“数不够用”的情境，如对负数开平方，将学生大脑中原有的“无意义”的认识，拓宽为寻找可能性的认识. 例如，■的结果是什么？这样，学生的思维就有了一个明确的对象，通过这样的操作（action）阶段，学生的数学思维加工的对象就明确了. 为了帮学生明确这个研究是具有意义的，教师可以借助于数学发展史来创设更为形象的情境. 例如，介绍在18世纪，数学家在研究类似于x2=-1的问题的时候，他们决定通过拓展数的范围，即通过创设新的数来化解这个难题，而且跟学生明确复数（这个概念先不要提出）中所用的i原本就是“虚构”的意思.

其后，在过程（process）阶段，就需要帮学生建立一个能够支撑复数学习的关键，即i2=-1. 实践表明，这个认识一旦明确，那学生在理解复数概念的外延的时候，就容易得多了. 而这也表明这一步的关键，就是帮学生巩固认识，确保没有外界的刺激，学生也能迅速地运用i2=-1对复数概念进行理解与判断. 此过程中，可以利用集合概念来帮学生建立理解，因为集合是学生熟悉的，而且复数中的i与实数一样是可以运算的，且运算律是一样的，这样集合就起到了帮学生巩固对i的认识的作用.

在对象（object）阶段，学生利用建立起来的复数概念进行运算. 相对于前一步骤而言，这里实际上存在一些跨越，但根据APOS理论，数学运用原本就是非常重要的，在运用中可以巩固学生对概念的认识. 在复数概念学习阶段，数学运用可以结合概念本身进行，如给学生一个类似于“在复数z=m+1+（m-1）i中，当m为何值时，该复数就是实数？就是虚数？就是纯虚数？”的问题，这样的问题通过对m值的判断，同时让学生基于对实数、虚数、复数的理解，从而可以起到互相促进理解的作用，这对于建构复数概念是很有好处的.

在图式（scheme）阶段，就到了巩固所形成的复数图式的阶段，笔者的观点是要对前面的学习过程进行一个概括，让学生从数系扩展的角度，认识到是基于新的问题的解决而引入了复数概念，這样的铺垫可以让学生对复数的意义比较清晰，这容易促进学生尤其是高中学生学习数学概念，因为追求事物的逻辑性，是学生数学学习背后的重要心理.

事实证明，以上的步骤，确实可以让学生比较顺利地接受、理解、运用复数概念，而这个理想状态，实际上就是重视学生认知过程的结果.

数学概念建构过程中蕴含数学学科核心素养培养要点

从核心素养培育的角度来看，数学概念建构的过程，就是一个核心素养要素蕴含其中且可以得到培育的过程. 众所周知，高中数学学科核心素养有六个要素，而数学概念的构建与这六个要素密切相关. 复数概念的建立，虽然没有一个明显的从实际生活抽象出研究对象的过程，但其中的逻辑推理却非常充分，基于一个出乎学生意料之外的问题，寻找一个用来表示负数平方根的符号，这需要高强度的推理，从而也就培养了学生的逻辑推理能力，其中也有一些直觉思维的参与，而这又恰好吻合着数学学科核心素养中的直观想象;而最后形成的复数概念，实际上已经成为解决相关问题的一个基本模型，因此包括复数概念在内的数学概念的构建过程，是可以理解为一个数学模型被建立的过程的.

而在APOS教学理论中，我们看到的四个阶段，其实也是与核心素养密切相关的，这四个阶段立足于学生的科学认知规律，通过系列操作使学生完成概念构建，可以有效培养学生的能力，这些能力还能够有效迁移到其他情境当中，因而可以被认为是关键能力，而这恰恰是宏观视角下的核心素养的基本要义.

总之，高中数学概念教学中，重视学生的认知规律，借助于相关的理论作为基础并积极实践，是可以提升教学的有效性的.

参考文献：

[1]  于霞. APOS理论在高中数学概念教学中的应用[J]. 数学之友，2013（2）：25-25.

[2]  沈敏鉴. APOS理论指导下的高中数学概念教学实践研究[J]. 数学教学通讯，2016（9）：21-22.