多视角看等差乘等比型数列求和

☉甘肃省白银市第一中学 胡贵平

等差乘等比型数列求和，常见的方法就是错位相减法，而“错位”之后再求和时，许多学生经常会弄错等比数列的项数，因而不能准确求和，下面通过一道典型的高考题，从不同的视角来看等差乘等比型数列求和.

例题（2017年天津卷理）已知{an}为等差数列，前n项和为S，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4.

（1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列{a2nb2n-1}的前n项和n∈N*.

解析：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.

由已知b2+b3=12，得

而b1=2，所以q2+q-6=0.

因为q＞0，所以q=2.所以bn=2n.

由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8. ①

由S11=11b4，可得a1+5d=16. ②

联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2.

所以数列{an}的通项公式为an=3n-2，数列{bn}的通项公式为bn=2n.

第（2）问，从不同的视角来看.

方法一、错位相减法

通项公式为cn=（an+b）qn-1的等差乘等比型数列求和，用错位相减法时，首先写出新数列的前n项和Sn，然后对求和的等式左右同时乘以等比数列部分的公比q，两式相减，中间n-1项等比求和，第一项和最后一项单独列出，最后进行运算就得到了Sn的代数式.

（2）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn.

由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，有a2nb2n-1=（3n-1）×4n.

所以Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n-1）×4n；

4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n-4）×4n+（3n-1）×4n+1.

上述两式相减，得-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n--（3n-1）×4n+1=-（3n-2）×4n+1-8.

方法二、构造常数列法

通项公式为cn=（an+b）qn-1的等差乘等比型数列求和，先将数列的通项公式转化为Sn=Sn-1+（an+b）qn-1（n≥2），然后利用待定系数法变形为Sn-（rn+s）qn=Sn-1-［r（n-1）+s］qn-1（n≥2），再通过比较两式，解出r、s的值，构造常数列{Sn-（rn+s）×qn}来求和.

（2）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn.

由a2n=6n-2，b2n-1=2×4n-1，得a2nb2n-1=（3n-1）×4n，

则Tn-Tn-1=（3n-1）×4n（n≥2），即Tn=Tn-1+（3n-1）×4n（n≥2）. ①

令Tn-（rn+s）×4n=Tn-1-［r（n-1）+s］×4n-1（n≥2），

即Tn=Tn-1+（3rn+3s+r）×4n-1（n≥2）.②

方法三、导数法

等差乘等比型数列cn=（an+b）qn-1，展开得cn=anqn-1+bqn-1，令xn=anqn-1，yn=bqn-1，则cn=xn+yn.

由于数列{yn}是一个等比数列，很容易求其前n项和，而由数列{xn}的通项公式xn=anqn-1中的nqn-1，很容易联想到幂函数的求导法则的逆运算nxn-1=（xn）′.若令q=x，则数列{xn}的前n项和x1+x2+x3+…+xn=a（1+2x+3x2+…+nxn-1）=a（x+x2+x3…+xn）′=最后将x换成q，这样就求出了{xn}的前n项和，从而求出了等差乘等比型数列cn=（an+b）qn-1的前n项和.

（2）设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn.

方法四、结论法

等差乘等比型数列cn=（an+b）qn-1，则其前n项和Sn=（An+B）qn+C，其中

证明如下：

Sn=（a+b）+（2a+b）q+（3a+b）q2+…+［（n-1）a+b］qn-2+（an+b）qn-1； ①

qSn=（a+b）q+（2a+b）q2+（3a+b）q3+…+［（n-1）a+b］·qn-1+（an+b）qn. ②

练习：（2017年山东卷文）已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）{bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n+1=bnbn+1，求数列前n项和T.n

答案：（1）an=2n；（2）