《双曲线及其标准方程》教学新设计

广东省广州大学附属中学(510006) 朱惊涛

广东省华南师范大学数学科学学院(510631) 何小亚

广东省佛山市顺德区李兆基中学(528300) 赵家良

授课课题《普通高中课程标准实验教科书数学(A版)》选修2-1(人教版),第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程,第一课时.

教材分析双曲线的定义及标准方程与椭圆的定义及标准方程十分相似,而且处理问题的思路大同小异,教学中应抓住这一点,通过联系椭圆来学习双曲线;双曲线的定义要注意“平面内”、“绝对值”、“常数小于|F1F2|”这三点细节;本节课的内容是后续学习理解圆锥曲线统一定义的基础.

学情分析本节课针对成绩中等的高二学生设计.

1.认知基础:学生已经学习了椭圆的定义,并经历了根据椭圆的定义建立适当的直角坐标系来求椭圆标准方程的过程,认识了椭圆标准方程的两种不同形式,也了解了椭圆的简单几何性质,因而运用类比的学习方法理解双曲线的定义及标准方程不太困难.

2.认知障碍:如何用拉链画出双曲线;双曲线标准方程推导中的化简过程;曲线与方程的概念.

教学目标[1]

1.知识与技能

(1)理解双曲线的定义;(2)会推导双曲线的标准方程;(3)明确双曲线标准方程中a,b,c的关系,知道怎样求a,b,c;(4)能分清什么形式的方程是双曲线的标准方程,并知道焦点的位置与方程形式的对应关系.

2.过程与方法

(1)经历用拉链画双曲线的活动,培养动手操作能力与合作意识,积累水平数学化(horizontal mathematization)的经验[2];

(2)通过双曲线的定义和标准方程的推导过程,学习数形结合的思想方法,提高运算化简能力,并最终形成这样一种能力:“求曲线的方程实质上就是求该曲线上任意一点的坐标所满足的关系式.为此,需要建立直角坐标系,设点坐标,抓住该曲线上的点满足的几何性质,将此几何性质代数化得出方程,证明这个方程就是所求的方程”[3].

(3)通过拓展练习3和4,学习分类讨论和数形结合的思想方法,并证明初中的反比例函数图像就是双曲线.

3.情感态度与价值观

(1)通过用拉链画双曲线感受数学实验活动的乐趣;(2)通过发掘双曲线定义的细节体会数学的严谨性;(3)通过双曲线标准方程的推导过程,感受“追求简单化”这一数学的灵魂;(4)通过双曲线标准方程及图像感受数学的简洁、对称、概括、统一之美.

教学重难点及关键

1.教学重点:双曲线的定义;求曲线方程的本质;双曲线标准方程中a,b,c的关系.

2.教学难点:(1)双曲线标准方程的推导,关键是运用“追求简单化”这一数学的灵魂;(2)标准方程中字母a,b,c的变与不变,突破的关键是几何意义和基础练习1;(3)说明推导出的方程就是双曲线的方程,化解这一难点的关键是:在讲圆的标准方程之前加入用时约8分钟的曲线与方程的内容,通过直线、射线、线段这3类简单的曲线与其对应的方程及其反例来回答:需要满足什么条件,一条曲线和一个方程才能互为彼此?[3].

教学方法及工具教学方法:问题驱动、合作实验、引导探究;教学工具:拉链、PPT、投影仪、几何画板.

一、教学过程设计

教学环节教师活动学生活动设计意图1.展示生活中的双曲线(hyperbola)图片:花瓶,广州塔,冷却塔.新课引入[用时到3分钟左右]师:如图这些都是旋转体,过旋转轴作轴截面,轴截面的外轮廓就是双曲线的一部分.2.师:我们有学过一种函数,它的图像就是双曲线,大家知道是什么函数吗?师:对的,如函数y=1 x的图像是双曲线.至于它为什么是双曲线,如何证明?大家学习完这节课后看看会不会.3.师:到两定点距离之和为定值的动点轨迹是椭圆.那么,把和改为差,到两定点距离之差为定值的动点轨迹是什么?学生听讲思考、回答生:反比例函数感知生活中的双曲线.选图贴近学生日常所见有利于激发兴趣.联系旧知,制造悬念,激发求知欲.由椭圆的定义出发引出双曲线.

实验操作观察探究[用时到10分钟左右]1.教师给每位学生发一条小拉链,教师利用PPT和道具进行实验演示,引导学生合作完成双曲线轨迹生成实验.2.教师展示学生成果.3.教师引导学生思考作图原理:拉链咬合处到固定的两点的长度有什么关系?在拉链拉开或合拢过程中笔尖留下的轨迹上的点满足什么条件?4.教师利用几何画板演示双曲线轨迹,说明点在运动时什么量在变,什么量不变.使学生直观感受双曲线的形成过程.每两位同学合作在学案上作出双曲线.学生思考并回答作图原理.观看几何画板演示双曲线轨迹.实验操作可激发学习兴趣,活跃课堂氛围,培养合作精神.借助几何画板形象直观的展示轨迹形成过程,揭示双曲线上的点在变动过程中满足的不变关系.学生思考并回答.双曲线定义探究[用时到18分钟左右]1.师:能否给双曲线下个定义?教师请一两个同学回答后追问:这些同学的表述是否足够严谨?请大家议一议.教师剖析定义中的要点:①“平面内”三个字容易漏掉,去掉后不严谨.例如平面内到一个定点的距离为定长的动点轨迹是圆,如果去掉平面内,就成了球面.②理解双曲线定义中常数是“差的绝对值”,否则只能得到双曲线的一支.③常数要小于|F1F2|,原因是三角形中两边之差小于第三边.师:常数等于|F1F2|的轨迹是什么?师:若常数为0,轨迹是什么?师:常数大于|F1F2|的轨迹是什么?2.PPT展示双曲线定义平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.通常情况下,焦距用2c表示,常数用2a表示,显然这里有2c＞2a＞0.3.师:为什么常数用2a表示?师:与椭圆类似,可以使得双曲线标准方程的形式变简单.追求简单化是数学的一大特点.学 生思考并回答.生:两条射线生:线段F1F2的中垂线生:轨迹不存在剖析定义中的要点,使学生精准理解定义.同时体会数学概念的严谨性.设计几个变式问题使学生理解双曲线定义中常数为何要小于 |F1F2|,想象常数处于不同条件时轨迹的特殊情形.促进思维的批判性.渗透“追求简单化”这一数学灵魂.进一步体会对称建系的好处.双曲线标准方程探究[用时到30分钟左右]1.教师引导学生推导双曲线的标准方程.①建系:与椭圆类似,以直线F1F2为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.师:这样建系有什么好处?②设点:设双曲线上任意一点M坐标为(x,y),焦距为2c,则 F1(-c,0),F2(c,0),常数记为2a.③写出限制条件,列出等式||MF1|- |MF2|| = 2a, 即学生思考并回答教师的提问.|||√2a,去掉绝对值后即为√(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2|||=(x+c)2+y2-√(x-c)2+y2=±2a.2.教师要求学生写出等式化简过程,巡堂,对存在的问题或好的学生作品进行投影点评.必要时,板书讲解化简过程.④化简得到x2学 生在学案上书写等式的化简过程.c2-a2=1结合c＞a＞0,可设c2-a2=b2于是双曲线的方程可化为x2重视让学生经历公式推导化简的过程,掌握理解知识的来由.感受解析几何中数学运算任务的挑战性.a2- y2 a2-y2 b2=1.

双曲线上的每一点坐标都满足该方程,反之,以此方程的解为坐标的点,是该双曲线上的点.师:为什么要令c2-a2=b2?师:可以使得方程简单美观.从形式上看,有点像什么形式?例如椭圆 x2)2+(y(x曲线与方程的概念是理解“反之,…”部分的基础,这一难点要靠椭圆部分同样难点的突破解决.a2+y2 b2=1可以看成a b2=1可以看成?即?也可以写成(x)2=1,即平方和为1.类似地,双曲线x2 a2-y2 b=1.3.师:双曲线与椭圆标准方程有何异同点?a,b,c的关系有何异同点?相同点:等式左边都是二元二次式,右边都是1.不同点:双曲线中c2=a2+b2,c值最大,a、b大小关系不确定;椭圆中a2=b2+c2,a值最大,b、c大小关系不确定.4.椭圆的标准方程有两种,双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式,得到另一种形式的方程:y2 a+y)·(x b a-y)b体会双曲线标准方程的简单美.进一步渗透简单美是数学的内在追求.提醒学生双曲线标准方程的形式具有平方差的特征.b2=1其中a＞0,b＞0.同样有c2=a2+b2 a2-x2学生思考并回答教师的 提问.学生思考与椭圆标准方程的区 别.并回答教师的提问.学生思考两种标准形式的不同 特征.类比椭圆,将新知与旧知建立联系,学生能够更顺利的学习新知,建立清晰的知识网络关系.5.师:如何通过双曲线的方程判断焦点的位置?基础练习1.判断下列方程是否表示双曲线?若是,指出a,b,c的值分别是多少?(1)x2 2 =1;(2)x2 9 =1;(3)x2-4+y2 4-y2 3-y2巩固练习 拓展练习[用时到3 2=0;(4)x2-4y2=16.教师要求学生口答2.已知双曲线的焦点F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.变式1.已知F1(0,-5),F2(0,5),动点P满足||PF1|-|PF2||=8.求点P的轨迹方程.变式2.已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=10.求点P的轨迹方程.老师巡视并请个别同学回答.拓展练习3.方程 x2 n=1(mn/=0)可以表示哪些曲线?教师引导学生:分类应遵循由大类到小类的原则.由于m,n都不能为0,所以m,n取正数或负数.1)先考虑m,n同号与异号,这样分成两大类.2)同号则分同正或同负,异号则分前正后负和前负后正.这样分成四类.3)在前正后负情况下又分成圆与椭圆.最终可以分成五小类.m-y2 8分钟左右]学生口答练习1.学生在学案上做练习2及变式.学生思考练习3.若时间不够完成练习4,鼓励学生课后 完成.基础练习1.通过练习检测学生是否理解双曲线标准方程的一般形式.2.检测学生是否掌握用定义求双曲线方程的方法.3.通过练习加深学生对双曲线定义的理解.拓展练习练习3是对抽象字母的讨论,把圆、椭圆、双曲线都统一到一个方程中,体现了数学所追求的概括性和统一性.该问题的设置有利于帮助学生学习分类方法,做到不重不漏.同时将旧知与新知结合起来,使知识系统完备化.练习4其实就是证明函数y=1 4.证明以下关系式恒成立√(x+)2 2)2+(12-√x+2.师:该关系式的几何意义是什么?(x-)2 2)2+(1x-2= ±2x的图像是双曲线,回应了课堂开始的问题.该练习进一步促进了学生对“由数到形”的理解,体会数形结合的思想.同时培养计算化简的能力,进一步熟悉该类型等式的化简过程.

课堂小结师:说说这节课你学到了什么?教师点名个别学生回答.教师在PPT上投影本节课的主要内容.学生回顾本节所学知识帮助学生回顾本节课所学,巩固知识印象.查找知识遗漏.作业布置1.课本55页练习2.从定义、标准方程、焦点坐标及a,b,c之间关系四个方面比较双曲线与椭圆的异同.3.拓展练习4没完成的课后完成.学生课下完成作业巩固所学内容.促进思维能力发展.