基于“3+1”翻转课堂模式的概念教学尝试与反思—以《抛物线及其标准方程》为例

广东省汕头市澄海中学(515800) 陈焕涛 林建群

广东省东莞市麻涌中学(523000) 骆妃景

广东省汕头市澄海华侨中学(515800) 潘敬贞

1、引言

“3+1”教学模式就是40分钟的课堂教学,教师讲授尽量控制不超过10分钟,学生活动尽可能保证30分钟左右.该教学模式的核心要求是:限时讲授、合作学习、踊跃展示.“限时讲授”指教师在课堂上的讲授应不能超过学生活动的一半,留出时间让学生合作、探究交流;“合作学习”指教学过程中必须建立学习小组,学生在小组内或小组间进行互动交流;“踊跃展示”指学生在课堂上能规范、大声表达,主动、积极展示.实现该教学模式的基本依托是:教师课前必须精心设计学习任务单,必要的时候制作本节课某个重点、难点突破的微视频,学生根据学习任务单的引导或者观看微视频,自主、合作学习,实现教学目标.笔者主要对一节基于“3+1”教学模式的课堂教学——《抛物线及其标准方程》的课堂实录进行整理并简要分析和思考,供同行研讨、交流.

2、课堂再现

本节课授课老师虽然没有制作微视频,但精心设计学习任务单让学生提前自主、合作学习,课堂教学的组织形式以学生分享交流为主.

2.1 教学片段一实例引入,激发兴趣

师:前面我们学习了两类圆锥曲线,它们分别是椭圆和双曲线,今天我们来学习第三类圆锥曲线.下面请欣赏一组图片,观察形状有什么特点?

图1

图2

图3

生众:形状都是抛物线.

师:那么抛物线具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容.

2.2 教学片段二师生互动探求新知

2.2.1 探究抛物线的几何特征

师:我们先来看一个实验,老师用几何画板给大家演示这个实验的过程,大家认真观察,对自己所思考和疑惑的问题小组内进行交流,最后请一个小组代表发表思考.

此时,教师在演示几何画板,学生细致观察思考.

师:如图4:点F是定点,l是不经过点F的定直线,H是l上任意一点,过点H作MH⊥l,线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H,观察点M的轨迹,你能发现点M满足的几何条件吗?M点的轨迹是什么图形?

图4

教师课堂中一边讲解几何条件,一边演示几何画板,2分钟后,学生开始小组活动交流,交流各自的疑惑问题,教师也参与初步探讨.

师(第4分钟):大家在小组学习的过程中已经发现了M点满足的几何条件,现在哪位小组代表来分享以下你们的小组结果?

生1:经过我们小组的讨论,我们发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等.

师:非常好,M点满足的几何条件就是点M与定点F和定直线l的距离相等,那么M点的轨迹是我们熟悉的什么图形呢?

生众:抛物线.

师:很好,现在哪个小组能结合学习任务单中的提示归纳抛物线的定义呢?

2.2.2 概括抛物线的几何特征

生2:我们把平面内与一个定点F和到一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

师:还有同学需要补充的么?

生3:应该还要说点F不在l上.

师:“点F不在l上”为什么?

生3:假如定点F在定直线l上,动点的轨迹是过定点F且垂直定直线l的直线.

师:好,说的非常到位,我们掌声送给这位同学.这也是我们经常忽略的地方.

此时,教室响起雷鸣般的掌声,教师在黑板上板书抛物线定义并在旁边注明强调“点F不在l上”.

2.2.3 探究抛物线的标准方程

师:同学们,刚才我们已经归纳出抛物线的定义,抛物线上的点M满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等.那么动点M的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢?我们之前学习过求轨迹方程的步骤,我们一起来回忆一下.

生众:求轨迹方程的步骤:“建、设、限、代、化”.

师:很好,同学们记的很牢固,求轨迹方程的首要步骤是建立适当的直角坐标系,建立的直角坐标系不同,得到的轨迹方程会怎样?

生众:建系不同,方程也不一样.

图5

师:嗯,很好,那现在我们一起来探讨如何建立适当的直角坐标系得到的抛物线方程更简单些.那么现在大家看黑板上的图5,设过点F且垂直直线l的直线与直线l相交于点K,并设|KF|=p(p＞0),大家先类比椭圆和双曲线的推导过程,独立思考建立直角坐标系推导抛物线方程,并记下自己所思考、疑惑的问题,然后小组内进行交流,纠错,并求出相应的抛物线方程.如果小组内已经得到答案,请上来黑板展示你所在小组的建系思路和推导过程.

学生全员参与,积极讨论,教师巡视,参与各小组的讨论,关键点适当点拨.第10分钟时,三位同学上来黑板前等待向全班同学讲解说明.

师:三个小组提出了三种不同的建系方法,并推导出了方程,下面请三位同学展示发言,掌声有请!

第13分钟时,三位同学展示完各自小组的建系方案和抛物线方程.

师:很好,三位同学都进行了充分的展示和讲解并得到正确的结果,下面我们一起来点评这三种的建系方案.

师:三位同学建立的直角坐标系不一样,得到方程也不一样,但结果都正确.而且都以KF所在的直线为x轴,根据抛物线的对称性,大家都容易想到,这里我们都不存在问题,三位同学展示不同的地方是哪里设为原点比较好,这也是我们建系的最大疑问.下面哪三位同学自告奋勇分别对这三种方案点评?

生4:方案一以KF所在的直线为x轴,K为原点,建立直角坐标系,这样的建系方案的优点是容易想到,求得抛物线的方程是:y2=2px-p2(p＞0).

生5:方案二以KF所在的直线为x轴,F为原点,建立直角坐标系,这样的建系方案的优点是容易计算,求得抛物线的方程是:y2=2px+p2(p＞0).

生6:方案三以KF所在的直线为x轴,KF的中点为原点,建立直角坐标系,这样的建系方案,需要较多的思考分析,根据抛物线的定义得到|OK|=|OF|,即O点到定点F和定直线l的距离相等,所以O点在抛物线上,即抛物线一定经过KF的中点,于是可以求得抛物线的方程是:y2=2px(p＞0).

师:非常好,三位同学都分析地有理有据,掌声送给他们(教室再次响起雷鸣般的掌声).我们刚才已经分析了三种建系方法的优点,请同学们再思考哪种方案的方程更简单呢?大家小组交流,2分钟后请小组代表阐述想法.

生7(第16分钟):从方程简洁的角度看,方案三建系的方法得到的抛物线方程y2=2px(p＞0)形式上更简洁,美观,而且我们解析几何中求方程不是最终目的而是利用方程研究曲线的性质,式子简单对于研究曲线的性质更有利、方便.

生8:从我们学生已有的知识角度看,我们已经学习过以原点为顶点的抛物线方程为y=ax2,与方案三中的抛物线方程y2=2px(p＞0)类似,符合我们的最近发展区.

生9:从坐标平移的角度看,我们小组对三种方案对)应的方程变形,发现方程y2=2px-p2和都是通过y2=2px(p＞0)的图像左右平移个单位得到的.

师:哇,同学们真的好棒,表达很严谨,逻辑很好,掌声响起来!三位同学都讲的非常到位,都一致认为方案三得到的抛物线方程比较好,并且我们由椭圆、双曲线的研究过程知道解析几何中求方程不是最终目的,而是利用方程研究曲线的性质.所以我们把方案三中的抛物线方程叫做抛物线的标准方程.

此时,教师板书抛物线的标准方程为:y2=2px(p＞0),焦点坐标是准线方程是

师:同学们,在抛物线的标准方程中,p(p＞0)的几何意义是什么呢?

生10:从图像上看,p(p＞0)是焦点到准线的距离.

师:很好,善于数形结合直观观察,所以我们必须理解并掌握抛物线标准方程中p(p＞0)的几何意义:p(p＞0)表示焦点F到准线l的距离.

2.2.4 探究抛物线标准方程不同形式

师:前面我们主要研究了抛物线开口向右的情况,我们类比椭圆和双曲线第二种标准方程的推导过程,那么如果抛物线的开口方向是向左、向上或者向下,同学们能否猜想到其对应的方程呢?请通过类比、联想,独立完成导学案中的表格.疑惑的问题小组内交流、纠错.

学生低头紧张地填写表格,同时老师在黑板上画出如下表格.

师(第19分钟):哪位同学愿意到讲台上来尝试填表?

一个小组代表主动到讲台上来尝试填表,其他同学继续在下面讨论.学生们经过认真猜想、推理完成表格,开始激烈讨论,教师巡视,参与讨论,帮助学生互相纠错和梳理知识.

标准方程焦点坐标准线方程y2=2px(p＞0))(p x=-p y2=-2px(p＞0)(2,0)-p x=p 2 x2=2py(p＞0)(2,0(0,p)y=p 2 2 0,-p)y=-p x2=-2py(p＞0)2 2 2

师:大家基本讨论结束,先请填表的这位同学说说如何发现这样一些结果的?

生11:我们小组是根据学习椭圆和双曲线的经验,通过类比猜想得到不同开口方向对应的抛物线方程,并根据抛物线的定义,利用求轨迹方程的步骤求抛物线的方程,再对猜想进行验证.

生11把解答通过实物投影仪展示并讲解.

师:很好,该同学根据已有知识和经历,通过类比猜想得到抛物线的方程,并通过严密的逻辑推理计算验证猜想,体现了很好的大胆猜想,类比迁移,小心求证的数学素养.请回去坐好,谢谢!

此时,教师及时引导学生寻找四种方程的规律,加深记忆.

师:请同学们思考方程中哪些量可以确定图形焦点的位置和开口方向?请大家讨论一下.

师(第25分钟):哪位同学上来分享想法?

生12:开口方向由一次变量的系数来决定.

师:怎么确定?

生12:y2=±2px(p＞0)中开口由一次变量x前面的系数的正负确定,若是正的,开口向x轴的正方向,若是负的,开口向x轴的负方向.

师:很好,x的系数的正负决定了开口是向左还是向右.

生12:x2=±2py(p＞0)的开口由一次变量y前面系数的正负确定,若是正的,开口向y轴的正方向,若是负的,开口向y轴的负方向.

师:很好,y的系数的正负决定了开口向上还是向下.那判断焦点位置在哪个轴上,从方程中怎么看呢?

生12:还是看一次项系数,若是正的,在一次项字母所对应的正半轴上,若是负的,则在负半轴上.

师:非常好,总结的很完整,那我们可以一起概括为:一次项定焦点,正负定开口.

2.2.5 探究抛物线的形式与二次函数建立联系

师:同学们现在已经知道抛物线的生成过程以及它的四种标准方程,你能说明我们以前熟悉的二次函数y=ax2(a/=0)的图象为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标和准线方程.

生13:因为y=ax2(a/=0)可变形为根据抛物线的四种标准方程,它是顶点在原点,对称轴为y轴,焦点为F准线为的抛物线.

师:(第30分钟)太棒啦,初中学习过的二次函数的图象是抛物线是从函数角度来研究,现在是从方程的角度来研究抛物线,接下来请大家完成例1、变式训练1、例2、变式训练2.

2.3 教学片段三例题讲解,深化认知

例1已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程.

变式训练1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

(1)y2=10x;(2)

(3)2y2+5x=0;(4)x2+8y=0.

例2已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程.

变式训练2根据下列条件写出抛物线的标准方程.

(1)焦点是F(3,0);(2)准线方程是

(3)焦点到准线的距离是2.

该环节学生自主完成,3分钟后开始小组交流纠错,教师巡视,并指出学生解答过程中的错误,然后再请两个小组代表上台展示解答,并主动解析.接着教师点评,点评过程中师生一起总结:(1)给抛物线的方程求焦点和准线方程,必须要先把方程化为抛物线的标准方程;(2)给焦点或者准线求抛物线的方程,必须先根据所给条件对比标准方程的四种形式画出对应的图像,然后确定是哪种形式的方程,再求出p,最终写出方程.

2.4 教学片段四回顾小结,思考提升

师(第39分钟):通过本节课的学习,你有哪些收获与困惑?

生众:学习了抛物线的定义,抛物线四种形式的标准方程及其根据条件求出方程的方法.

师:非常好,本节课我们用研究椭圆、双曲线的思路研究抛物线,通过抛物线的几何特征,得到定义,然后建立适当的坐标系,得到标准方程.在后续的学习中,我们会借助抛物线的标准方程,研究它的几何性质,讨论直线与抛物线的位置关系.这是解析几何中研究圆锥曲线的一般思路.要特别注意抛物线的几何特征,体会根据这一特征,建立适当直角坐标系而得到标准方程.本节课知识如果还有学生有疑问,请课后小组内外交流或者与老师交流.今天的作业完成导学案上的课后作业,下课!

3、课堂实录分析与思考

3.1 本节课的设计亮点

本节课,首先通过生活当中的实例引入,激发学生兴趣,接着通过师生互动,教师巧设疑问,归纳启迪,精到点拨,学生动口、动笔、动脑自主探究、小组合作类比椭圆、双曲线的研究过程探究抛物线及其方程,进一步在全班同学面前动手用实物投影仪和动口踊跃展示,生生、生师探究问题,进一步相互纠错深化问题,相互补充完善问题,最后动脑、动口、动笔归纳梳理、拓展问题.本节课课堂任务驱动贯穿课堂始终,由一个个活动组成,学生都动起来了,整个课堂行云流水,流畅无比,气氛活跃,学生学的不亦乐乎,展示亮点频出,在场的听课老师都对学生在课堂上表现出来的主动、自信和阳光表示由衷赞赏.虽然课堂某个环节学生讨论的很热烈,看起来有点散漫,但却是学习充分观察、感受、探究、体悟内化的过程,实是“形散而神不散”.

本节课不仅很好地调动了学生的积极性,激发学生的活力,活跃了课堂,让学生爱学、乐学、主动学,而且有效地地激发了学生思维,两者兼而有之,相互融合.所以本节课的最大特色是:动、活、实.“动”的学生,“活”的课堂,“实”的思考,布鲁纳认为“探索是数学教学的生命线”,倡导积极主动、勇于探索的学习方式,力求通过各种不同形式的自主学习和探究活动,让学生“动”起来,让学生在“动”中去思维、去体验,在“动”中获得真知;让学生在课堂上充分地动脑、动手、动口,发挥学生的主体性,引导学生通过实践、自主思考、探究、合作交流获取知识,这样的数学概念课能够使学生准确掌握基本概念,思维敏捷,为学生对数学难题进行正确地分析、判断、推理和论证打下基础,是一节十分高效的概念课.

3.2 “3+1”教学模式与传统课堂的区别

传统的“教”与“学”,人们长期以来习惯于把教学理解为以“教”为基础,教师教多少,学生就学多少,教师怎样教,学生就怎样学.“教”支配、控制“学”,“学”无条件地服从“教”,“教学”由共同体变成了单一体.教师快节奏的讲解,大容量的渗透,高难度的训练,学生被动接受的多,主动学习、主动探究的时间、空间、机会少.这样的结果就是学生的自主性、独创性缺失,主体性被压抑,教师越教,学生越不会学,越不爱学.

本节课采用的是“3+1”教学模式,学生是课堂的主人,是学习研究的主体,将学生的学习观念由“让我学”转变为“我要学”,提高学生学习动机,增强学生自学能力.“3+1”教学模式下的课堂为学生创造生动活泼,民主自由的教学环境,很好地把学生的表现和对问题的个性理解有机结合起来,使每位学生的思维在交流中产生碰撞,使学生的解题能力,数学素养得以提高.本节课在“3+1”教学模式指导下主要是通过学生自主探究分析问题,小组合作解决问题,实践应用升华问题,归纳反馈拓展问题,自始至终都是通过自主学习、合作学习、探究学习获取知识的,是由许多开放性问题和探究性活动组成的.学生在动手、动口、动脑、展示的过程中,理解所学知识,经历多角度认识问题,多种形式表现问题,多种策略思考问题,尝试解释不同答案合理性的活动,潜移默化、润物细无声般地发展了学生的创新意识和实践能力.

3.3 对本节课的建议

从课堂教学的实际情况来看,本节课的节奏有点偏快,个别小组内部探究讨论不够充分,主要原因是个别同学课前自主学习不够充分,影响课堂发挥.为了让学生课前自主学习更充分,课堂对问题探究能够更深入,建议提前制作一个微课和针对微课设计相应的即时检测练习,微课不一定就要做成视频,也可以是几张ppt,甚至是一张纸片,让学生课前通过微课自主学习,完成练习,思考问题.课堂教学开始阶段应该聚焦微课初检验,了解学生是否进行了自主学习以及自主学习后完成学习任务清单的程度,教师针对学生微课学习后即时练习的反馈情况进行合理调整,确定重难点,为课堂教学中的学生以及师生共同探究解决问题提供基础.

例如本节课课前可以给学生课前观看一个微课或者PPT,自主学习任务单,在独立完成的过程中记下所思考、疑惑的问题,然后在小组内进行交流.具体可以参考以下的设计:

(1)抛物线的定义是怎样形成的?抛物线上的所有点具有怎样的共同特征?

(2)类比椭圆、双曲线的建系方式,课本介绍了抛物线的哪种建系方式?还有没有其他建系方式?

(3)按课本上的建系方式建系,抛物线的顶点一定在坐标原点处吗?

(4)设p为定点F到定直线l的距离(p＞0),在课本建系方法下,根据定义,列出抛物线上任意一点M(x,y)所满足的过程,并进行化简.

(5)抛物线y2=6x的焦点坐标是_____,准线方程是_____.

(6)抛物线y2=2px(p＞0)过点(2,3),则p=_____.

本节课,个别小细节演变成优生说答案,教师重复答案,其他学生记答案,为避免这些瑕疵,在“3+1”教学模式下,教师在每个环节都必须参与活动、把控教学,切记在给学生充分主体性时出现教师“不作为”的现象,使课堂流于形式,特别是对于课堂上出现意外(学生的理解出现偏差和冷场等情况)教师要能合理引导学生思考.此时,教师要“授之以渔”,要教给学生发现问题的方法,这是他们最需要的.

4、教学效果实验

为了能够检验“3+1”教学模式的课堂教学效果,我们在同一所学校的两个平行班做了对比试验,组出一份本节课知识的检测试题给采用“3+1”教学模式的试验教学班和另一个采用传统教学模式授课的对照班级的学生同时检测,检测试题由12道选择题,4道填空题,2道大题组成,满分100分.

4.1 实验假设

通过实施“3+1”教学模式授课,能够显著提高学生的问题解决能力.

4.2 实验对象

采用“3+1”教学模式教学的试验教学班总共60人,采用传统教学模式授课的对照班总共60人.两个班的数学水平接近,基本情况无明显差异.

4.3 因变量

学生本次检测卷的成绩.

4.4 实验结果分析

检测前,对两个班级的最近一次月考的数学成绩进行独立样本T检验,得到比较结果如下:

表4-1 实验班与对照班开学初数学成绩平均分及独立样本t检验结果

结论:经过t检验,得到P值为0.766,在0.05的置信水平下,两组的结果没有差别,也就是两个班级的数学成绩无明显差异.

本次测试后,以实验班和对照班的数学成绩进行独立样本T检验,得到比较结果如下:

表4-2 实验班与对照班期末数学成绩平均分及独立样本t检验结果

结论:经过t检验,得到P值为0.037,在0.05的置信水平下,两组的结果有差异,也就是两个班的数学成绩有显著差异.

测试数据充分说明采用“3+1”教学模式授课后,学生对本节课所学的知识掌握的比较好,解决问题能力比较强.

5、结束语

新课改倡导素质教育,以立德树人为目标,以发展学生的核心素养为根本任务.小组合作探究、学生展示贯穿课堂始终,给学生展示才能提供舞台,凸显教服务于学的理念是新时期有效的重要体现.教学是一门艺术,教无定法,但,真正促进学生健康成长、为学生的未来发展奠定坚实基础的教学才是真正有效的教学,“3+1”教学模式是力求课堂教学是真正以学生为主体的课堂,以促进学生健康成长,发展学生核心素养为目标的教学.很多时候,教学亦犹如放风筝,绳子在教师手中,教师可以尽情、放心的将手中的绳子放长一些,让风筝有足够飞翔的空间,让人的潜力得到充分的挖掘!

“3+1”教学模式对教师的基本素质提出了更高的要求,只有不断学习教育教学的前沿理论知识,勤于实践善于思考方可真正的理解“3+1”教学模式的本质内涵,应用“3+1”教学模式进行教学,提高课堂效益,促进教育发展.