《平行线的性质与判定练习课》有形思维透视

广东省广州市花都区圆玄中学(510800) 舒荣芳

七年级学生学习了“平行线的性质与判定”之后,很多学生常感将性质与判定综合在一起运用时很难.观察发现学生感知的“难”表现在以下几个方面:(1)平行线的性质与判定综合在一起时,不知该选用性质还是判定解决问题;(2)不能正确、迅速地找到解题的切入点,解题思路不清晰.

究其深层原因,发现“难”的表象背后隐藏着学生的共性问题:(1)对于复杂图形,不能分辨截线、被截线,从而不能正确提炼出需要的F、U、Z型基本图形;(2)不能根据需要构造F、U、Z型基本图形完成推理或计算.我们必须瞄准问题靶心,想办法解决这个共性问题,要让学生有思维碰撞地深度参与.

爱因斯坦说:“你能不能观察到眼前的现象,不仅仅取决于你的肉眼,还要取决于你用什么样的思维,思维决定你到底能观察到什么.”[1]可见思维方式的重要.数学课堂上要想让学生突破思维障碍,必须要让他们看到别人怎样想,展示自己怎样想,直击看得见的有形思维,让思维障碍点得以充分暴露.

一、分辨、提炼,拨云见日

小测两道题,每道题的图形中都有两组看起来分别平行的直线,第1题考查平行线的性质及判定,第2题辨析.

1.如图1,若AB//CD,则与∠B相等的角有__;若∠BOD=∠D,则___//__.

图1

图2

2.如图2,点E在BC延长线上,在下列四个条件中,不能判定AB//CD的是( )

A.∠BAC=∠ACDB.∠B=∠DCE

C.∠D+∠DAB=180°D.∠DAC=∠BCA

每个图中两组看似都分别平行的直线给学生一定的认知干扰,可以有效检测学生是否能分辨平行线的性质与判定的正确选用.同时两道题的设计由平行线的性质到判定、由填空到辨析,每题都瞄准学生的问题靶心“对于复杂图形,是否能分辨截线、被截线,从而正确提炼出需要的F、U、Z型基本图形”进行考查.

追问学生如何快速识别第2题中的截线和被截线?教师引领学生由两角的边的位置轻松锁定截线与被截线,两角的两条边中,若有一条边在公共直线上,则这条边所在直线是截线,两角的另两条边所在直线是被截线.教师用彩色描绘这三线,“F、U、Z”型基本图形从复杂图形中自然分解,使学生印象深刻.醒目的彩色线条明示:无论平行线性质还是判定,平行的线一定都是被截线.复杂的图形中正确分辨截线、被截线,才能快速分解出三线八角基本图.

二、甄别、锁定,有形思维

试一试:如图3,已知∠MED=∠ECF,∠EDC=∠NFG,请猜测∠GDC与∠DGF的数量关系,并说明理由.

图3

教师先给学生足够时间读题、审题、划线、在图中作标记,要求学生独立思考、探寻证题思路.当教师发现部分学生探寻思路遇到障碍时,与学生一起经历探寻的过程.由所问问题“猜测∠GDC与∠DGF的数量关系”出发,让学生自己通过这两角的边确定截线与被截线,从而锁定一个横放的“U”型基本图形,只要证得被截线DC//FG即可.将CN作截线,又可锁定一个反置的“F”型基本图形,要证这个基本图形中两被截线DC//FG,则只要证得∠DCN=∠NFG即可,由条件∠EDC=∠NFG可知,只要证得∠EDC=∠DCN即可.由这两角的边确定新的截线与被截线,锁定一个反置的“Z”型基本图形,只要证得DE//CN即可.再次变换截线MC,DE、CN被MC所截,又锁定一个倒置的“F”型基本图形,只要证得∠MED=∠ECF即可,而这正是题中所给的已知条件.

教师边与学生一起探寻证题思路,边在黑板上画出对应的思维流程图,帮助学生有效展示思维的轨迹.师生对照几何图形与这个流程图口述完整的证明过程,让学生自查解答是否有误并纠正,之后师生归纳、点拨仔细甄别截线、被截线,锁定基本图形对于准确画出思维流程图,帮助顺利找到证题切入点的重要性.

教师与学生一起探寻证题思路的过程,体验如何由所求问题出发,顺着“找寻截线、被截线,不断变换基本图形”这根藤,最终摸到“已知条件”这个瓜的经历,让学生的思维再现,其中的思维障碍也暴露无遗.思维流程图的引入,为有形思维搭建了良好平台.思维流程图如图4.

图4

三、添加、构造,拓展提升

如图5,已知m//n,∠MAB=∠NDC.求证:∠B=∠C.

图5

学生独立思考,寻找证题思路,并配思维流程图.让学生在小组内交流自己是怎样找到证题切入点的.在学生充分交流后,教师请学生代表再现自己的思维过程,大屏展示该生的思维流程,对于流程图中某些关键点,比如,添加哪条新的截线,为什么要添加?教师给予补充和点拨.教师追问“还有不同的辅助线作法吗?”,一石激起千层浪.优秀学生争相展示自己与众不同的辅助线作法,从要证的∠B=∠C结论出发,将AB、CD作为被截线,只要添加不同的截线即可,如延长AB或延长DC.教师剖析优秀学生各种辅助线作法的共性为根据需要添加截线,构造新的“F、U、Z”型基本图形,以顺利找到证题思路,这是基于有形思维的拓展提升.

四、透视反思

调查发现,经过上面的训练,多数学生坦言平行线的性质与判定综合问题不仅不难,追根溯源式的探路过程还很有趣.关键原因在于教师深知学生不能正确、迅速地找到解题切入点,导致解题思路不清晰的原因.瞄准学生问题的靶心,站在学生的角度,从细微处入手,在引领学生经历探寻思路的过程中,充分暴露学生的思维障碍,教师在障碍处精准点拨.从“在复杂图形中找截线、被截线提炼F、U、Z型基本图形”,到“根据需要添加截线构造新的F、U、Z型基本图形,都尽可能采取利于学生思维再现的交流方式,让学生感知“看得见的思维”的无穷魅力,凭借这一魅力吸引他们自主参与到课堂学习之中,从而收获成功体验.教育心理学研究成果表明,教师有目的地教学,可以促使学生有意识地掌握思维方式和学习策略,进而促进学生积极参与学习[2].数学课堂上教师抓住学生存在问题的症结对症下药,将抽象、枯燥的思维化无形为有形,直击有形思维,不仅利于消除思维障碍,化难这易,促进高品质思维的形成,还利于提高学生的课堂参与热情.