数学素养中的化归思想

江欣恩 王向东

【摘要】 数学素养一直是数学教育教学关注的核心问题.不仅在课程标准文件上出现的次数频繁，在实际教学中，数学素养对于数学教育教学也具有极大的意义.化归思想作为中学生学习数学重要的思想方法，与数学素养有着什么关联？本文基于数学素养研究的基础，探索数学素养中的化归思想以及化归在中学数学中的渗透教学.

【关键词】 中学教学;数学素养;化归

一、数学素养

（一）数学素养与数学核心素养

《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》（以下简称《意见》）指出：课程改革的深化将提出各学段学生发展核心素养体系，明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力，突出强调个人修养、社会关爱、国家情怀，更加注重自主发展、合作参与、创新实践.在具体的课程改革中，将基于学科本质观来确立学科素养，基于学科素养来选择学科课程内容，基于学科课程内容来研究学业质量评价标准.

我们基于核心素养的界定下，探讨数学素养.一般而言，数学素养就是核心素养在数学学科上的“投影”，或者说核心素养是各学科素养的整合与筛选.

另外，我们还可以从数学课程标准来探讨数学素养的外延，在数学课程标准中，对关键数学能力和必备的数学品格来进行探讨.

在《义务教育数学课程标准（2011版）》上指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养.这说明了数学素养的基础性.在《普通高中数学课程标准（修订稿）》上指出：数学核心素养是具有数学基本特征，适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力.

课程标准是基于数学学科的特征出发，明确了学生的培养目标.关于数学素养的要求，先提出空间想象能力、抽象概括能力，推理论证能力、运算求解能力，数据处理能力.然后换一个角度，再提出数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流的能力.因此，通过核心素养与数学素养的定义对比，本文认为数学素养是具有数学基本特征的核心素养.

（二）数学素养的概念界定

在国内，对于数学素养概念的探究，主要有两个方向的研究思路.

1.从素养的综合特征上

从素养的综合特征上来考虑，什么是素养.素养，就是一种平日的修养.康世刚、宋乃庆在《论数学素养的内涵及特征》上谈到，数学素养指学生在已有数学经验的基础上，通过数学活动对数学的体验、感情和反思，并在真实情境中表现出来的一种综合性特征.广义地讲是一种综合特征，狭义地讲，是指在真实情景中有意识地应用数学知识与技能理性地处理问题的行为特征.在这个数学素养概念的界定上，是从素养是一种心理状态或者特征出发来作数学的界定，由“素养”概念或者由“特征”概念限定（抽象）出来的或者说演绎出来的，其界定并不具有数学学科的属性.

2.从数学学科活动上

从数学学科的活动、内容和性质上，对数学素养进行概念的界定，数学素养就是数学学科所特有的、需要学生掌握的数学能力.张奠宙、李仕锜、李俊在《数学教育学导论》上谈到，数学素养就是数学思维能力，数学运算能力、逻辑思维能力和空间想象力，其核心则是逻辑思维能力.在这个数学素养概念的界定上，是基于考虑数学学科的特征，需要学生掌握基本的数学能力，其中核心是逻辑思维能力.

综上所述，对于数学素养概念的界定，主要有两个方向的思路，一个是从素养的综合特征上，另一个是基于数学学科的特征.还有一种观点是这两个方向的综合表述.

何小亚在《学生“数学素养”指标的理论分析》上谈到，数学素养是指学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体.实际上就是运用了“数学素养是数学领域的核心素养”.紧接着，在数学素养的构成要素上，给出了更加具体的表述，数学素养的构成要素为：数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观.

综合上述的观点，笔者对于数学素养的概念定义是：数学素养是指学生完成社会实践活动所必备的数学方面的品格与能力，并且学生能在真实情境中表现出来的一种综合性特征.

二、数学素养中化归思想的体现

（一）化归思想方法

在定义化归上，章士藻认为，所谓化归，从字义上说，就是转化和归结的意思.数学中的化归方法，就是将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程、归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法.

张奠宙给出一个简洁的定义，所谓化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就解决了.定义的简洁在于说明了化归思想方法的精髓在于转化的思想.

王林全根据化归思想方法的特征，给化归的定义是，将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单的过程称为化归.

综合上述的观点，笔者对于化归概念定义是：化归就是把一个我们需要解决的问题，通过一定的转化方法，归结到另一类已经解决或者比较容易解决的问题中.化归思想方法的精髓在于转化的思想.

（二）数学素养中化归思想

在了解化归思想方法的定义上，我们可以得出的结论，数学上大部分的问题，都可以通过化归来解决，并且化归最重要的思想方法在于转化.在中学的数学素养上，是否体现了化归思想方法的要求？

根据数学素养的概念，数学素养是指学生为了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体.化归思想方法在数学素养中的体现，关键在于探究化归思想方法是否学生為了满足自身发展和社会发展所必备的数学方面的品格和能力.接下来从两个方面来探究数学素养中的化归思想，一个是数学素养的要求，另一个是化归思想的价值.

1.数学素养的要求

数学素养具体是什么，一直没有明确的说明.但是我们可以从课程标准上来研究数学素养包含的内容.课程标准上目标，规定了学生的培养方向和要求，从课程标准的目标，我们可以推断在中学阶段学生需要形成的数学素养具体的内容.

在《普通高中数学课程标准（修订稿）》上提到，高中数学课程的总目标是使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要.数学素养的培养是基于学生的数学基础，是一种长期稳定的数学修养.数学素养的培养需要一定的时间，这是数学素养的特点.

在《普通高中数学课程标准（修订稿）》上具体目标的第一个，讲述学生需要在掌握必要的数学基础知识和基本技能上，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用.通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程.学生需要通过掌握数学的基本思想和方法，体会在后续学习中的作用，其中最关键的是能在后续的学习中运用这种数学思想方法.数学思想方法在实际中的应用，其中大部分都是基于化归的数学思想方法.通过转化，把需要解决的问题，归结到另一类已经解决或者比较容易解决的问题中.

除了在课程标准上推断出数学素养的要求，何小亚对于数学素养的构成要素给出了具体的总结：数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观.在此，化归是属于数学素养中的数学思想方法，并且是学生必备的基础思想方法.

2.在中学教学中，化归思想方法的价值

从化归的价值，我们可以得出化归思想方法是学生必备的数学素养之一.

（1）提高學生自觉应用数学思想方法解决实际问题的意识和能力.

张奠宙教授曾经说过：形式化不是数学的起源，也不是最终的目标.掌握数学思想方法，认识客观世界的数量变化规律，并用于认识世界和改造世界，才是数学科学的真谛.学习数学，归根到底不是为了考试，更重要的是掌握数学的思想方法并将数学应用到生活当中.化归有利于提高学生自觉应用数学思想方法解决实际问题的意识和能力，帮助学生把实际问题转化成容易解决的问题.

（2）化归思想有利于加强数学新旧知识之间的联系，促进学生学科基本结构和认知结构的形成与完善.

在中学教学中，化归思想可以帮助学生把复杂的问题简单化，生疏的知识转化成学生熟悉的知识，有利于加强数学新旧知识之间的联系，帮助学生形成一个完整的数学知识体系.

（3）化归思想有利于培养学生的发散思维，提高学生的正迁移能力

化归思想帮助学生基于已有的数学基础上，解决新的数学问题，有利于提高学生的正迁移能力，帮助学生深刻地体会数学的内涵，灵活地运用数学知识.并且有利于培养学生的发散思维，掌握多种方法解决问题.

（4）化归思想有利于培养学生对数学的兴趣.

教学中应用化归思想可以将复杂的问题简单化，生疏的知识可以转化为我们学习过的熟悉的知识，实际上将数学问题简单化，有利于提高学生对数学的兴趣，增强学生对学习数学的热情.这与高中数学课程标准具体目标的第五条可以对应起来，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.

由此我们可以看出，化归作为一种数学思想方法，是数学素养中必不可少的一部分，是学生需要掌握的基本思想方法之一.

三、数学素养下，如何在中学中渗透化归思想

（一）中学教学中化归思想的渗透

1.基于数学学科的基本特征，教师应当重视化归思想方法，认识到化归是学生的基本能力.

化归有利于加强新旧知识之间的联系，促进学生学科基本结构和认知结构的形成与完善，化归思想不仅在数学，甚至其他学科上，也有极大的用途.学无止境，学生在中学所学习到的知识是有限的，在未来的学习与生活中，对于学生起到重要作用的是基本的方法与技能.因此，比起传授知识，教师在中学教学中，应该重视思想方法的传授，教会学生学会学习，尤其重视化归在学生认知结构上的作用.

2.数学地提出、分析和解决问题的能力.

在修改课程标准的历程中，我们得出的结论是，教学越来越重视培养学生对于实际问题的解决能力.

学习数学，归根到底不是为了考试，更重要的是掌握数学的思想方法并将数学应用到生活当中.在生活中，数学地提出、分析和解决问题，根源上是化归.化归有利于学生把实际的问题转化成数学问题，通过解决数学问题，从而解决生活上的实际问题.因此，在教学过程中，教师应当重视化归的“实际价值”，有意引导学生自觉应用数学思想方法解决实际问题.

【参考文献】

[1]康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征[J].数学通报，2015（3）：8-11，43.

[2]张奠宙，李仕锜，李俊.数学教育学导论[M].北京：高等教育出版社，2003：54.

[3]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015（1）：13-20.