“概率论与数理统计”课程教学改革的探索

周菊玲

【摘要】 本文以典型问题为例，分析影响学生学习“概率论与数理统计”课程的障碍因素，给出教学改革过程中的方法及对策，以期改进教学方法，提高教学效果.

【关键词】 概率论与数理统计;微积分;数学建模

一、打好微积分的基础，深刻理解随机事件的概率

“概率论”研究对象是不确定现象，思维方式独特[1].不确定现象与确定性数学所使用的说理方式、研究方法都不同.对于大部分已习惯于学习确定性数学的学生来说，具有很大的挑战性，学生对处理随机现象的思考方法不太适应，解题时常常把主要精力放在套用公式上.

例1   连续型随机变量X的概率密度为

f（x）= x，0≤x≤1，2-x，1<x≤2，0，其他.

求x落在区间（0.4，1.2）内的概率.

此题看似简单，但颇具代表性.根据连续型随机变量X的概率密度的性质，所求问题转化为积分问题，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx.

此处，向学生重点强调从求事件的概率到计算积分的转化，让学生认识到，在概率论的学习中是通过计算积分求事件的概率的;其次，因为被积函数是分段函数，故需讨论函数的分段区间和积分的积分区间，即

P{0.4<X<1.2}=∫1.20.4f（x）dx=∫10.4xdx+∫1.21（2-x）dx.

学生对积分很熟悉，但数学分析中的积分与此处的积分难点侧重不同.这种求随机事件概率问题的思路和方法同样适用于多维的情况，只是难度会更大.

例2   设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=  1 8 （6-x-y），0<x<2，0<y<4，0，其他.

求：P{X+Y<4}[5].

根据二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度的性质，随机事件的概率归结为概率密度在相应区域上的定积分.

解  P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx.

这里求解的难点在于讨论积分区域D和被积函数的分段区域，需要求两者的交集，进而在公共区域求累次积分

P{X+Y<4}=Df（x，y）dxdy=∫∞-∞∫4-x-∞f（x，y）dydx

=∫20dx∫4-x0 1 8 （6-x-y）dy

= 1 8 ∫20  1 2 x2-6x+16 dx= 2 3 .

后一步是学生在数学分析中训练较少的，但却是“概率论”中运用最多、最典型的一种问题，因此，讲解各步骤时不能平均用力，应重点讲透学生不熟悉的环节，使学生充分认识概率论与数学分析中积分计算的难点变化.

二、教学中渗透数学建模思想

“概率论”在理论联系实际方面是数学最活跃的分支之一，它的概念、公式、定理多，同时具有应用性强的特点，教材中有很多问题都是应用题，实际问题不但内容涉及方方面面，形式更是千变万化.而学生普遍存在的问题是基础知识比较扎实，但对如何将实际问题转化为概率问题感觉困难.在“概率论”课程教学中渗透数学建模思想，培养学生抓住本质抽象概括、量化分析、数学语言的翻译等能力，建立数学模型解决实际问题，是改善学生学习方式，提高教师教学效果的途径.

例3   某公司计划开发一种新产品，并要确定产品的产量.评估出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元损失.预测销售量Y（件）服从指数分布，其概率密度为

fY（y）=  1 θ e- y θ ，y>0，θ>0，0，y≤0.

若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？（m，n，均为已知）[3]

这是一道应用题，如何用数学语言来描述实际问题、建立数学模型是难点.授课时帮学生將问题分解为以下几步：

1.先分析此问题中的各个量：产量、单利、单件损失、销售量Y、利润;

2.分析每个量的类型：产量是普通的未知量、单利是常量、单件损失是常量、销售量Y是随机变量、利润是销售量的函数，也是随机变量;

3.将实际问题数学化：给以上每个量引入数学符号，建立利润与销售量之间的函数关系;

4.求解数学问题并回答问题.

通过将原题分解为这样几个步骤，不但使学生感觉入手容易，关键是将数学建模的思想渗透其中，使学生学习到了如何将实际问题抽象为数学问题、建立模型，达到解决问题的目的，并体会到学习数学的意义.总之，学好“概率论”这门课程，一方面，需要学生前期的数学学习基础，另一方面，也需要教师的引导.教师在教学中既要传授给学生数学知识，也要教导数学方法;既要夯实学生的数学基础，也要在教学中注重渗透数学建模的思想.

【参考文献】

[1]王彬，林静.论数学统一性在概率论教学中的应用[J].数学教育论坛，2014（24）：75-76.

[2]朱少平，王珍.概率论解题方法的一点思考[J].科技经济市场，2014（6）：182-183.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008：84-94.