一类矩阵的求秩法

田心

【摘要】 本文推导出两个公式：对任意的正整数p，均有 ∑ p+1 k=0 （-1）k（k+m）pCkp+1=0，m=1，2，…，p+2，∑ p k=0 （-1）k· （k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1，利用这两个公式对（p+2）阶矩阵 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2作初等变换，用反证法证明行向量的极大线性无关组的个数为（p+1），从而求出矩阵 A 的秩为（p+1）.

【关键词】 矩阵;秩;反证法;极大线性无关组

在“线性代数”的学习中，我们发现，当p>2时，用简单的初等变换变成行阶梯形矩阵或求最大子式不为零的方法求一类p+2阶矩阵 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2的秩是困难的.这里，p是正整数.我们将 A 具体地写成

A =  1p 2p … （p+1）p （p+2）p2p 3p … （p+2）p （p+3）p    （p+1）p （p+2）p … （2p+1）p （2p+2）p（p+2）p （p+3）p … （2p+2）p （2p+3）p  .

怎样通过研究 A 的元素的组成规律和特点推导出公式，简化初等变换？怎样求出 A 的行向量的极大线性无关组的个数？怎样简便地求出 A 的秩？这就是本文解决的主要问题.

一、主要公式

（一）公式1及其证明

1. 引理1  设p是任意正整数，当n>p时，

∑ n k=0 （-1）kkpCkn=0.

证明  用数学归纳法：

当p=1，n>1时，∑ n k=0 （-1）kkCkn=n∑ n k=1 （-1）kCk-1n-1= -n∑ n-1 j=0 （-1）jCjn-1=0.

假设当p=2，n>2时，当p=3，n>3时，…，当p=m，n>m时，等式均成立，再证当p=m+1，n>m+1时，等式也成立.

事实上，由归纳假设，注意运用二项式定理得

∑ n k=0 （-1）kkm+1Ckn=∑ n k=0 （-1）k[（k-1）+1]kmCkn

=∑ n k=2 （-1）kk（k-1）km-1Ckn+∑ n k=0 （-1）kkmCkn

=n（n-1）∑ n-2 j=0 （-1）j（j+2）m-1Cjn-2+0

=n（n-1）∑ n-2 j=0 （-1）jjm-1Cjn-2=0.

证毕.

由引理1并利用二项式定理易得，当n>p，m为正整数时，∑ n k=0 （-1）k（k+m）pCkn=0.

特别取n=p+1得公式1.

2. 公式1  设p为正整数，则

∑ p+1 k=0 （-1）k（k+m）pCkp+1=0，m=1，2，…，p+2.

（二）公式2及其证明

1. 引理2  对任意的正整数p，

∑ p k=0 （-1）kkpCkp=（-1）pp！.

证明  用数学归纳法：

当p=1时，等式显然成立.

假设p=m时等式成立，再证p=m+1时等式也成立.事实上，由引理1，注意利用归纳假设和二项式定理得

∑ m+1 k=0 （-1）kkm+1Ckm+1=∑ m+1 k=0 （-1）k[（k-1）+1]kmCkm+1

=∑ m+1 k=0 （-1）kk（k-1）km-1Ckm+1+∑ m+1 k=0 （-1）kkmCkm+1

=（m+1）m∑ m+1 k=2 （-1）kkm-1Ck-2m-1+0

=（m+1）m∑ m-1 j=0 （-1）j（j+2）m-1Cjm-1

=（m+1）m∑ m-1 j=0 （-1）jjm-1Cjm-1

=（m+1）m（-1）m-1（m-1）！

=（-1）m-1（m+1）！

=（-1）m+1（m+1）！.

证毕.

由引理2并利用二项式定理，得公式2.

2. 公式2  设p为正整数，则

∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1.

二、证明定理

定理  设p是任意给定的正整数，p+2阶矩阵 A =（aij）aij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+2的秩为p+1.

证明  我们先对矩阵 A 进行初等变换.从第一行到第p+2行分别乘C0p+1，-C1p+1，…，（-1）pCpp+1，（-1）p+1Cp+1p+1后，累加到第（p+2）行.对第一列到第（p+2）列也作同样的变换，由公式1将 A 变为矩阵

1p 2p … pp （p+1）p 02p 3p … （p+1）p （p+2）p 0pp （p+1）p … （2p-1）p （2p）p 0（p+1）p （p+2）p … （2p）p （2p+1）p 00 0 … 0 0 0  ，

然后从第一行到第（p+1）行，分别乘C0p，-C1p，…，（-1）p-1Cp-1p，（-1）pCpp后累加到第（p+1）行.对第一列到第（p+1）列也作同样的变换.若p是奇数，在第（p+1）行（列）上再乘-1，由公式2和∑ p k=0 （-1）kCkp=0得矩陣

1p 2p … pp p！ 02p 3p … （p+1）p p！ 0pp （p+1）p … （2p-1）p p！ 0p！ p！ … p！ 0 00 0 … 0 0 0   .

最后，用 1 p！ 乘第（p+1）行（列）得矩阵

1p 2p … pp 1 02p 3p … （p+1）p 1 0     pp （p+1）p … （2p-1）p 1 01 1 … 1 0 00 0 … 0 0 0   . （2.1）

显然， A 的（p+2）个行向量线性相关.兹证（p+1）个向量 α 1=（1p，2p，…，pp，1，0）， α 2=[2p，3p，…，（p+1）p，1，0]，…， α p=[pp，（p+1）p，…，（2p-1）p，1，0]， α p+1=（1，1，…，1，1，0）的向量组线性无关.

事实上，假设它们线性相关，即存在不全为零的（p+1）个数k1，k2，…，kp，kp+1使得

k1 α 1+k2 α 2+…+kp α p+kp+1 α p+1=0，

即 k11p+k22p+…+kppp+kp+1=0，k12p+k23p+…+kp（p+1）p+kp+1=0，…k1pp+k2（p+1）p+…+kp（2p-1）p+kp+1=0，k1+k2+…+kp+0=0.  （2.2）

将上面各式累加得k1 ∑ p j=1 jp+1 +k2 ∑ p+1 j=2 jp+1 +…+ kp ∑ 2p-1 j=p jp+1 +pkp+1=0运用（2.2）式中的k1+k2+…+kp=0得

k1∑ p j=1 jp+k2∑ p+1 j=2 jp+…+kp∑ 2p-1 j=p jp+pkp+1=0，

即k11p+（k1+k2）2p+（k1+k2+k3）3p+…+（k1+ k2+…+kp-1）（p-1）p+（k1+k2+…+kp）pp+（k2+k3+…+ kp）（p+1）p+（k3+k4+…+kp）（p+2）p+…+（kp-1+kp）（2p-2）p+kp（2p-1）p+kp（2p-p）=0，

注意到k1+k2+…+kp=0.

原式可化为k1[1p-（p+1）p]+（k1+k2）[2p-（p+2）p] +（k1+k2+k3）[3p-（p+3）p]+…+（k1+k2+…+ kp-2）[（p-2）p-（2p-2）p]+（k1+k2+…+kp-1）[（p-1）p-（2p-1）p]+kp+1（2p-p）=0，

整理得k11p+（k1+k2）2p+（k1+k2+k3）3p+…+（k1+k2+…+kp-2）（p-2）p+（k1+k2+…+kp-1）（p-1）p+2kp+1p=k1（p+1）p+（k1+k2）（p+2）p+（k1+k2+k3）（p+3）p+…+（k1+k2+…+kp-2）（2p-2）p+（k1+k2+…+kp-1）（2p-1）p+kp+1p，

从而有 k1=0，k1+k2=0，k1+k2+k3=0，…k1+k2+…+kp-2=0，k1+k2+…+kp-1=0，kp+1=0.

又已知k1+k2+…+kp=0，

∴k1=k2=…=kp=kp+1=0，与假设矛盾，从而向量组 α 1， α 2，…， α p， α p+1线性无关.而（2.1）式中的（p+2）个行向量显然线性相关，所以（2.1）式行向量的极大线性无关组的个数为（p+1），即（2.1）式的行秩为（p+1），亦即（2.1）式的秩为（p+1），从而A的秩为（p+1）.

在定理的证明过程中，我们还得到.

推论1  设 A 的行向量分别为 β 1， β 2，…， β p+1， β p+2则C0p+1 β 1-C1p+1 β 2+…+（-1）pCpp+1 β p+1+（-1）p+1Cp+1p+1 β p+2=0，即 β 1， β 2，…， β p+1， β p+2中任一向量都可以由其他向量线性表示.

推论2  | A |=0.

三、結 语

本文的求秩法是通过反证法求矩阵的行秩来完成的.这种求秩法有时也很方便，特别是在使用传统的求秩方法觉得很麻烦时，就要考虑使用这种方法.