数列易错题分析

■河南省沈丘县第一高级中学 刘 玉

易错点1：求通项公式时，弄错首项致错

例1 设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,3an+1=Sn(n∈N*),求数列{an}的通项公式。

错解：由3an+1=Sn,可得3an=Sn-1(n≥2),两式相减可得3an+1-3an=Sn-Sn-1=

所以数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,所以

正解：由上述分析可得又,所以数列{a}从第二项起是n以为公比的等比数列,即首项为所以当n≥2时

分析：本题易忽视首项与所有项的整体关系,事实上,数列{an}从第二项起,以后各项组成等比数列,而{an}不是等比数列,因此等比数列的首项不是a1。

易错点2：忽略数列与函数的区别致错

例2 设函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )。

错解：因为{an}是递增数列,所以解得正解：因为{an}是递增数列,所以

解得2＜a＜3。

分析：实际上,数列可以看成是特殊的函数,它的定义域是自然数集,图像是一系列孤立的点,所以该题不能直接按照函数的方法处理。

易错点3：忽略等比数列中的隐含条件致错

例3 已知数列｛an｝满足a1=1,an+1=,试探究是不是等比数列,并求an。

错解：因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ),即

又a1+λ=1+λ,故数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列。

所以an+λ=(1+λ)·2n-1,即an=(1+λ)·2n-1-λ。

正解：因为an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ)。

又a1=1,所以当λ=-1时,a1+λ=0,此时数列{an+λ}不是等比数列。

当λ≠-1时,a1+λ≠0,故an+λ≠0,所以数列{an+λ}是以1+λ为首项,2为公比的等比数列。此时,an+λ=(1+λ)·2n-1,即an=(1+λ)·2n-1-λ。

例4 已知等差数列{an}中,a1=2,a1,a2,a3+2成等比数列,则等差数列{an}的前10项和等于____。

错解：设数列{an}的公差为d,由a1,a2,a3+2成等比数列,可得a22=a1(a3+2),即(2+d)2=2(4+2d),化简得d2=4,所以d=2或d=-2,因此-70。

正解：当d=-2时,a2=0,a1,a2,a3+2不能构成等比数列,故d=2,所以S10=10×

分析：两题的易错点相同,同学们易忽略等比数列中的隐含条件“各项均不为0”,做题时要注意检验。

例5 已知数列｛an｝满足a1=0,an+1=n pn+an,求数列{an}的通项公式。

错解：由an+1-an=n pn可得,当n≥2时,an-an-1=(n-1)pn-1。

由累加法可得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=0+p+2p2+3p3+…+(n-1)·pn-1(n≥2)。

所以p an=p2+2p3+…+(n-1)pn。两式相减得an-p an=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn。

当p=0时,an=0。

当p=1时,当n=1时,a1=0也适合。

由①-②得an-p an=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn。

当n=1时,a1=0也适合。

分析：本题p=0时,{an}是各项均为0的常数列,而p≠0时,在利用错位相减乘公比时,公比不能为1,因此要讨论p=0,p=1,p≠0且p≠1三种情况。

易错点4：忽略数列的定义域是正整数集致错

例6 已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得,则的最小值为( )。

错解：依题意可得a5q2=a5q+2a5,所以q2-q-2=0,所以q=2。

正解：上式当且仅当即时取等号,与m,n∈N*矛盾。

结合对勾函数图像,当m=1,n=5时,;当m=2,n=4时

分析：数列的定义域是正整数集,不能取分数,在利用基本不等式时要注意检验等号成立的条件是否满足。