剖析三角知识中的学习误区

■山东省东明县第一中学 王素京

三角函数、三角变换和解三角形,注重数学知识间的交叉、渗透,解法灵活多变,突出对思维的灵活性和严密性的考查,解题时稍有不慎,便会出现增解、漏解,甚至错解的情况。本文归纳剖析常见的典型易错题,并对思维误区进行警示,防止类似错误再次发生。

误区1——图像变换或求解析式时忽略整体变量

例1 (2018届辽宁大连期末)已知函数现将y=f(x)的图像向左平移个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则g(x)在上的值域为( )。

A.[-1,2] B.[0,1]

C.[0,2] D.[-1,0]

错解：B或C或D。

剖析：整体变量下进行图像变换时求错y=g(x),利用正弦的有界性求值域时忽略角的范围。通过变换,所以所以,所以2。故选A。

警示：三角函数的平移、伸缩变换及有界性求值域,凸显整体变量观念的具体应用,特别注意平移的量为

误区2——忽视三角形中最大角或最小角的范围

例2 在不等边△ABC中,a为最大边,如果a2＜b2+c2,求A的取值范围。

错解：因为a2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,则。又cosA在(0,π)上为减函数且,所以又因为A为△ABC的内角,所以

剖析：已知条件弱用,题设中a为最大边,而错解中只把a看作是三角形中的普通一条边,造成解题错误。由上面的解法,可得又因为a为最大边,所以因此得A的取值范围是

警示：在三角形中,利用反证法可得其最大角范围为,最小角范围为

误区3——三角形中忽视“大边对大角、大角对大边”的制约

例3 (2018届河北张家口期末)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则a=_______。

错解：因为由正弦定理知,即代入有,结合题设有

剖析：本题忽视了c＞b,漏掉一解。因为c＞b,由以上解法可得所以或。若则A=若,则A=为等腰三角形,可得a=1。综上可得a=1或a=2。

警示：在△ABC中,抓住a＞b⇒A＞B⇒sin

A＞sinB的理解和应用,可以帮助我们缩小角的范围,正确地进行取舍。

误区4——△ABC中忽略A+B+C=π的隐含条件

例4 在△ABC中,已知,求cosC的值。

错解：在△ABC中,因为,所以

剖析：错解中忽视了“A+B+C=π”这一隐含条件。在△ABC中,因为所以且B为锐角。因为所以

又因为A+B+C=π,所以所以

警示：对于三角形中求角的问题,应把握其隐含条件(如内角和,大边对大角等)和函数值对角的限制,尽量缩小角的范围(越小越好),只有这样才可以避免多解和漏解。

误区5——忽视题设条件对角的制约关系

例5 在△ABC中,3 sinA+4 cosB=6,3 cos

A+4 sinB=1,则∠C的大小为( )。

错解：由平方相加得,所以,所以

剖析：错解忽略等式对的限制,即隐含条件

警示：三角形中的题设条件中常常隐含角与角之间的制约关系,这就需要我们充分挖掘和应用,如本题条件比较隐蔽,不易发现,忽略后常常会有多解。