“一名一角”在三角函数经典题型中的应用

■河南省沈丘县第一高级中学 孙鹏飞

纵观近5年的高考试题,对三角函数的考查主要围绕三角函数的图像及其变换,三角函数的图像与性质。考题多以中档难度出现,有时也会以解答题形式进行考查,不仅要求考生熟练掌握三角函数的图像与性质,还要求考生注意三角恒等变换,切割化弦,名称不同化同名,角不同化同角,降幂等,最终化成y=Asin(ω x+φ)+k,y=Acos(ω x+φ)+k,y=At a n(ω x+φ)+k型,简称“一名一角”。利用整体代换、数形结合、化归转化等数学思想方法,在解题时明方向、巧转化、化繁为简,达到事半功倍的效果。

一、三角函数的周期

例1 函数的最小正周期是( )。

解法一：因为,所以。故选B。

解法二：因为故选B。

方法技巧：函数y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的最小正周期是,函数y=At a n(w x+φ)+k的周期是

二、三角函数的奇偶性

例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+是偶函数,则θ的值是( )。

解析：由辅助角公式,把化成

若函数f(x)为偶函数,则kπ,k∈Z,即,k∈Z,结合θ∈,令k=0,所以。故选B。

归纳感悟：(1)在三角函数中,判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为y=Asinw x或y=Atanw x的形式,而偶函数一般可化为y=Acosw x+b的形式。

(2)已知函数的奇偶性求参数时,充分利用三角函数的性质化归到y=sinx,y=cos

x,y=t a nx简单函数模型上去。对于y=Asin(w x+φ),若为奇函数,则φ=kπ,k∈Z;若为偶函数,则。对于,若为奇函数,则φ=;若为偶函数,则φ=kπ,k∈Z。对于y=At a n(w x+φ),若为奇函数,则

三、三角函数的单调性

例3 已知函数

(1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性。

分析：将函数f(x)化简为f(x)=Asin(w x+φ)+k,“一名一角”的形式后,利用整体换元思想及正弦函数的单调性求函数f(x)的单调区间,结合T,得函数f(x)在区间上的单调性。

解：(1)函数f(x)的定义域为

所以f(x)的最小正周期为

归纳感悟：(1)求函数的单调区间应遵循简化原则,将函数解析式化成“一名一角”,并注意复合函数的单调性规律“同增异减”。

(2)求形如y=Asin(w x+φ)+k或y=Acos(w x+φ)+k的单调区间,要视w x+φ为一个整体,通过解不等式求解,如果w＜0,借助诱导公式将w化为正数。

(3)已知三角函数的单调区间求参数时,先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解。

例4 若函数f(x)=cosx-sin

x在函数[-a,a]上是减函数,则a的最大值是( )。

分析：先确定三角函数的单调减区间,再根据集合的包含关系确定函数的最大值。

解：因为

归纳感悟：函数y=Asin(ω x+φ)+B(A＞0,ω＞0)的性质：

四、三角函数的图像与性质的综合应用

例5 已知函数

(1)求f(x)的最大值和最小值。

(2)若不等式-2＜f(x)-m＜2,在x∈上恒成立,求实数m的取值范围。

解析：(1)

归纳感悟：本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”,即“一名一角”,以及转化之后角的范围的确定,因此求解时要准确运用三角公式,并借助三角函数的图像与性质去确定函数f(x)的最值。

例6 已知函数

(1)求函数f(x)的单调递增区间。

(2)关于x的方程f(x)-m=2在x∈上有两个不同的解,求实数m的取值范围。

解析：(1)

(2)由f(x)-m=2,得f(x)=m+2。当时

图1

归纳感悟：在解决三角函数的图像与性质的综合应用问题时,需先将y=f(x)化为“一名一角”的形式,再借助简单三角函数的图像与性质解决相关问题。如三角函数的零点、方程、不等式等问题。

总之,整体代换、化归与转换、数形结合、函数与方程、分类讨论等思想在解决三角函数问题中能够起到意想不到的效果。