拆解高考数学压轴题教学应用一例

江苏省南京外国语学校仙林分校 (210046) 魏安龙

高考数学试卷中的压轴题往往都是难题中的难题，但是具有较高的教学价值.学生怕做，教师不愿意讲.在这样的情况下，试题的价值除了考试选拔功能外其教学价值就很难得到发挥.为了有效的利用高考压轴题的教学功能，充分发挥试题的指导以及复习价值，本人尝试将高考压轴题进行拆解，根据试题的知识方法背景，编制出一组由易到难的题组，低起点，高输出.这样的拆解，化难为易,由易到难,教师选择以后，可以适合于所有学校所有层次学生的教学.还难题于教学,还难题于本来面目.

一、试题

(1)求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用p1,p2表示)；

这是2008年江苏高考数学试卷最后一题，即第20题.

图1

二、试题的拆解

问题1 画出函数y=|x-1|的图像，并写出其单调区间及其对应的单调性.

简解：(方法1)分类讨论;方法2：直线y=x-1翻折;方法3：y=|x|平移.

参见示意图1.

图2

问题2 在同一坐标系中画出f1(x)=|x-1|和f2(x)=|x-3|的图像，并写出函数h(x)=

简解：参见示意图2，(-∞,1),(2,3)减,(1,2),(3,+∞)增.

图3

问题3 在同一坐标系中画出f1(x)=3|x-1|和f2(x)=3|x-3|的草图，并写出函数h(x)=

简解：参见示意图3，(-∞,1),(2,3)减,(1,2),(3,+∞)增.

图4

问题4 如果f1(x)=|x-1|和f2(x)=1+|x-3|，定义函数h(x)=

问题5 如果f1(x)=3|x-1|和f2(x)=31+|x-3|，定义函数h(x)=

图5

图6

问题6 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=|x-p2|(p1,p2为常数)，定义函数h(x)=

图7

图8

简解：参见示意图7，m≥2.

问题8 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定义函数h(x)=

简解：参见示意图8，m≥p2-p1.

图9

问题9 如果f1(x)=3|x-p1|和f2(x)=3m+|x-p2|(p10)，定义函数h(x)=

简解：参见示意图9，m≥p2-p1.

图10

简解：参见示意图10，log32≥|p2-p1|.

图11

问题11 若已知函数f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|(x∈R,p1,p2为常数)，函数f(x)定义为:对每个给定的实数x,f(x)=

f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件(用p1,p2表示).(此题为2008江苏高考第20题(1))

简解：参见示意图11，log32≥|p2-p1|.

问题12 如果f1(x)=|x-1|和f2(x)=m+|x-3|(m>0)，定义函数h(x)=

问题13 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定义函数

图12

问题14 如果f1(x)=|x-p1|和f2(x)=log32+|x-p2|(p1,p2为常数)，定义函数h(x)=

变更分析处理对变更调查的精度和准确性有着直接影响，而重构数据的拓扑关系是这一内业处理环节中的难点之一。在实际应用中，只有部分区域会发生变更，因此，本系统对局部拓扑的方法进行了设计。局部拓扑主要包括增删合并图斑与改变部分图斑的界址点数据2种方式，这2种方式均可促进系统运行效率的提高。

简解：参见示意图12，当log32≥|p2-p1|时，(p1,b)增.当log32<|p2-p1|时，(p1,

图13

问题15 如果f1(x)=

|x-p1|和f2(x)=m+|x-p2|(p10)，定义函数h(x)=

设a,b为两实数，满足a

问题16 若已知函数f1(x)=3|x-p1|,f2(x)=2·3|x-p2|(x∈R,p1,p2为常数)，函数f(x)定义为:对每个给定的实数x,f(x)=

图14

三、原试题的完整解答

解：(1)由f(x)的定义可知，f(x)=f1(x)(对所有实数x),等价于f1(x)≤f2(x)(对所有实数x)这又等价于3|x-p1|≤2·3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2对所有实数x均成立.(*)

由于|x-p1|-|x-p2|≤|(x-p1)-(x-p2)|=|p1-p2|(x∈R)的最大值为|p1-p2|，故(*)等价于3|p1-p2|≤2，即|p1-p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件.

(2)分两种情形讨论

图15

图16

f(x)=

在区间[a,b]上，f(x)=

四、感悟与收获

为了让学生在知识能力方面做到站的高看得远，就需要教师在教学过程中，在备课环节做到脚踏实地，从基础开始，从学生的最近思维发展区开始，一步一个脚印.这样稳扎稳打，有利于打牢基础,提高能力.对于具有价值的典型问题,作为教师,作为高考研究者,要做好的一件事情就是抽丝剥茧,让试题现出真容.再通过教学,做到使学生对戴了帽子口罩架墨镜的问题我还认识你！作为教师,需要多角度审视各种题目,尤其是有较高价值的高考试题.走出迷宫需要思想，带领学生走出题海需要教师的智慧！对于高考命题人员来说,他们的做法是从1可以到n,而我们老师需引导学生从n联想到1.