基于数学核心素养的“二项式定理”的教学设计

江苏省常熟市浒浦高级中学 (215512) 殷伟康

林崇德教授认为：数学核心素养是学生通过数学的学习、反思、积累、升华孕育出来的，面对复杂的、不确定的现实情境和问题，能够综合运用特定的数学概念、知识、技能、思维模式、探究技能等，用积极的态度、科学的精神去分析问题、提出问题、解决问题、交流结果的过程中表现出来的综合性品质.如何在平时的课堂教学中培养学生的数学核心素养呢？笔者以在2017年省级骨干培训活动中上的公开课《二项式定理》为例，阐述基于数学核心素养的教学设计和反思.

一、教材解读

二项式定理是苏教版《数学·选修2-3》第1章第5节的内容，它是代数多项式乘法的推广.这节课的内容安排在“计数原理”之后进行学习.一方面，因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用；另一方面，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以进一步深化对组合数的认识，二项式定理也是解决整除、近似计算、不等式证明等问题的有力工具，同时也是学习随机变量及其分布、二项分布、数学期望等内容的知识基础，因此二项式定理起着承上启下的作用.

教学重点：用计数原理分析二项展开式，归纳得到二项式定理.

教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

二、教学目标

(1)从实际数学情境中抽象归纳出二项式定理的概念，体会由特殊到一般的数学研究方法，培育数学抽象素养；

(2)从特殊到一般猜想、发现二项式定理，经历“归纳、猜想”的过程，培育数据分析、数学建模素养；

(3)探索二项式定理的证明过程，让学生会用计数原理推导二项式定理，并感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美，培育逻辑推理、数学运算、直观想象素养；

(4)学生能正确地运用二项式定理求解有关二项式系数、项的系数等问题，培育逻辑推理、数学运算素养.

三、教学设计

1．创设情境，激发兴趣，诱发思考

问题情境：1664年冬，伟大的科学家牛顿(22岁就读剑桥大学)在研读英国数学家沃利斯的《无穷算术》中的(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3时，发现了(a+b)n展开式的规律(即二项式定理).

设计意图：遵循“历史发生原理”，把牛顿发现二项式定理的历史融入新课导入，既能激发学生的学习兴趣，启迪思维，又能让学生受到数学文化的熏陶，培育数学素养．

问题1 (a+b)2，(a+b)3是怎样得到这些展开式的？

生：(a+b)3是指由三个多项式(a+b)相乘，运用多项式乘法法则，每一项就是从每一个因式中选一个字母相乘得到.即a3是由三个a相乘得到，a2b是由两个a和一个b相乘得到，ab2是由一个a和两个b相乘得到，b3是由三个b相乘得到.

生：也可以将(a+b)3看成(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)，再展开.

问题2 如何求解(a+b)4的展开式？

生：将(a+b)4看成(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)，再展开.(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

生：将(a+b)4看成(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)，再展开.

设计意图：多项式乘法法则是推导二项式定理的本源之一，在此过程中，引导学生依据多项式乘法法则探求展开式每一项的构成及项数，强调运算规则的运用与算法过程的分析，直指“数学运算”“逻辑推理”核心素养的培育.

2．自主探究，发现规律，提出猜想

问题3 根据多项式概念，你认为应从哪些角度观察以上三个公式的共同特征？

引导学生从展开式中的“项数、次数、项及其系数”等方面来探究其规律.

设计意图：让学生提取记忆中关于多项式乘法的相关概念，在概念的指引下，观察多项式的要素“项数、次数、项及其系数”的规律，这就是“玩概念”的含义.教师要在“项的特征”上加强引导，发现规律.

问题4 由此你能得到关于(a+b)n展开式的哪些猜想？

通过学生独立思考，小组讨论，合作学习，发现(a+b)n展开式有如下规律：

(1)展开式共n+1项；

(2)每一项中a,b的指数之和都为n，即各项的次数都等于二项式的次数n；

(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

(4)首尾两项an,bn的系数都为1.因而初步归纳(a+b)n的展开式，主要是中间n-1项的系数还要进一步归纳探究.

设计意图：由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合分析，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生明确进一步进行探讨和分析的方向.重在对数据分析、逻辑推理、数学运算和直观想象素养的培育.

3．验证猜想，探究系数，意义建构

问题5 用上述归纳的方法很难得到展开式的系数，能否换一个角度思考问题呢？如(a+b)3展开式中a2b项的系数为什么是3？

生：多项式乘法法则是从每一个括号取一个字母相乘即得展开式一项.因为(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)，所以(a+b)3展开式中的每一项是由三个(a+b)中选取一个字母相乘得到.如a2b是两个a和一个b相乘得到的，两个a和一个b分别取自三个括号，这种取法有3种，合并后系数就是3.

问题6 口袋中有形状大小相同的一只红球(记作为a)和一只白球(记作为b)，先摸出一只球，记下其颜色后放回，再摸出一只球，记下其颜色后放回，依此下去.如果有放回的摸三次，那么摸到的一只白球概率为多少？

请学生解释(a+b)4的展开式各项系数是根据取几个b情形，运用组合数来确定.

设计意图：在探求a2b项的系数过程中，顺势用“取球模型”形象生动地进行了描绘，帮助学生将多项式乘法法则与计数原理建立联系，用组合数表达项的系数，然后将这条规律类比推广到一般情形，探索出(a+b)n的展开式各项结构特征.让学生抽象概括出二项式定理的表达式，不仅有利于学生二项式定理的数学概念的意义建构，而且能提升学生的数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养.

4．巩固新知，深化理解，提升能力

例1 用二项式定理展开下列各式：

(2)(a-b)6=a6-6a5b+15a4b2-20a3b3+15a2b4-6ab5+b6.

例2 求(1+2x)7的展开式中的第4项以及第4项的系数.

例3 求(a+2b+c)6的展开式中a2bc3系数.

设计意图：设计有层次性的系列问题，例1(1)让学生熟悉二项式定理，例1(2)让学生比较例题与公式结构的异同，突出转化的思维策略；通过例2，引导学生区分项的系数和二项式系数两个不同概念，巩固通项公式的应用，强调项的特征；例3回归系数的本质，深化对二项式定理的理解和应用.

四、教学反思

章建跃教授认为“从数学知识的发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点.”因而，在制定教学目标的教学设计过程中，教师要思考相应数学核心素养培养的孕育点和生长点，研究其融入教学内容、教学过程的具体方式和载体，如何将学生的数学核心素养培养落到实处.

1．数学抽象素养的培养

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征.创设问题情境，引导学生观察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展开式特征，从中找寻它们的共同特征，归纳概括出它们的共同特征及其数学规律，从而抽象、概括猜想出(a+b)n展开式的形式和特征.让学生经历“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的归纳和抽象过程，在变化不定的特例展开式中把握其变化规律和不变的整体特征及规律，并能够准确地运用数学符号予以表达，理解二项式定理的数学本质，从而促进学生数学抽象核心素养的提升.

2．逻辑推理素养的培养

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.引导学生对n=2,3,4三个特例入手研究，归纳概括它们展开式的共同特征，从中思考(a+b)n展开式的特点，通过探究，类比猜想出(a+b)n展开式的形式和特征，探索论证思路，并进行论证，体验从特殊到一般的探究过程.让学生理解探究二项式定理的产生背景，来龙去脉，促进学生数学概念的意义建构，掌握特殊化的数学方法和科学研究的一般方法.促进学生演绎推理能力、合情推理能力的培养，从而促进学生逻辑推理核心素养的提升.

3．数学建模素养的培养

本节课教学难点是用组合知识体现二项式定理展开式的项系数的规律.通过观察(a+b)2，(a+b)3，(a+b)4展开式中各项的特点，试图让学生探索其规律，但学生对此类数学规律感到很陌生，甚至无法通过观察得出项的系数的组合数表达.笔者从思考能否有什么方法使项的系数用组合数表达显得自然一点，通过“取球模型”将二项式定理的展开过程中项的系数与计数模型联系起来，让学生明确各项的形成过程就是有关计数原理的应用的问题.而各项的系数，就是展开过程中该项出现的次数.这样的探究过程符合学生的认知规律，有利于突破教学难点，渗透数学建模意识.事实上通过二项式定理的探究，让学生经历这个新模型的构建过程，即经历“分析问题-归纳模型-猜想结论-论证猜想”这一完整建模过程，有助于学生原有知识信息的提取和新的知识建构，促进学生数学建模核心素养的提升.