高中生数学关键能力研究的追溯与前瞻

朱立明

一、高中生数学关键能力研究的背景

（一）国际教育发展趋势的指引

为增强全球化进程中的综合竞争力，各国纷纷调整教育政策，将教育目标聚焦人的关键能力与核心素养的培养，并视之为教育变革的根本指向，关键能力与核心素养的提出，是对人才质量与规格的新要求，旨在推进教育深度发展，进而迎接21世纪的挑战。从国际教育发展趋势来看，关键能力既是课程目标取向，也是一种育人理念，是信息时代国际教育发展的重要方向。无论是国际经济合作与发展组织（Organization for Economic Cooperation and Development，简称OECD）、欧盟，还是美国教育，都将培养学生创新能力与实践能力作为教育的首要任务。例如，美国着重聚焦四个“超级核心素养”（4Cs）：创新能力、批判性思维、合作能力、交流能力。

（二）我国深化课程改革的诉求

2014年，教育部发布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出，要“研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准”，“明确学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”，“各级各类学校要从实际情况和学生特点出发，把核心素养和学业质量要求落实到各学科教学中”。2017年，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于深化教育体制机制改革的意见》提出要注重培养支撑终身发展、适应时代要求的关键能力。在培养学生基础知识和基本技能的过程中，强化学生关键能力培养，重点培养认知能力、合作能力、创新能力、职业能力，也是我国深化课程改革的新诉求。

（三）高中数学课程标准的落实

2018年根据我国对核心素养的研究，数学核心素养是指学生应具备的、适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和数学关键能力。数学关键能力基于数学学科核心素养，具有内隐性与外显性，其内隐性表现为学生的数学思维品质、情感、态度与价值观，而外显性表现为学生的关键能力。［1］数学关键能力是关键能力在数学学科上的投射，旨在借助数学学科特性来提升学生的关键能力，这与《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）的修订是密不可分的。

二、高中生数学关键能力研究的追溯

（一）数学关键能力的内涵研究

关于数学关键能力内涵的研究，不同的学者研究取向各有不同，涉及数学、心理学与教育学等学科范畴，主要包含心理取向、技能取向与经验取向。心理取向的数学关键能力内涵来自心理学中对能力的界定，国内大多学者基于苏联心理学家克鲁切茨基（Kruteskil）对中小学数学能力的研究，从心理学视角出发，认为数学关键能力也就是顺利完成数学活动所必需且直接影响其活动效率的一种心理特征［2］，并认为数学关键能力离不开数学教学，是在整个数学活动过程中形成和发展起来的。技能取向的数学关键能力内涵的界定不再认为数学关键能力是学生心理活动倾向，而是一种外在的行为表现，这与心理学取向的内涵恰好相反，认为数学关键能力是学生拥有或者学到的、能够解决数学问题的技能与技巧，并在变化情境中成功并负责地分析问题、解决问题的相关能力。［3］经验取向的数学关键能力内涵强调数学基本活动经验，将数学关键能力界定为在不同的数学情境中，获得理解、判断与使用数学的经验［4］，借助数学眼光感受并认识现实世界，在数学学习中获得超越数学的方法与能力，这些方法和能力可以用来解决实际问题。这三种内涵各具特色，心理学取向将数学关键能力视为能力的下位概念，强调其内隐性与宏观性；技能取向将数学关键能力视为学生运用数学解决问题时所表现出来的技术，强调其外显性；经验取向将数学关键能力视为学生学习经验，强调其生成性。

（二）数学关键能力的要素研究

从国家层面来讲，强化数学能力是世界各国数学课程改革的共同趋势，因此，在各国数学课程标准中，提出其构成要素的划分。长期以来，我国数学课程标准中关注数学三大能力，即计算能力、逻辑推理能力与空间想象能力。［5］（P434）德国借鉴 PISA 对数学素养的测评框架，构建数学论证、数学地解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式以及技巧的熟练掌握和数学交流六大数学能力。［6］2000年，《美国学校数学教育的原则和标准》（Principles and Standards for School Mathematics）中提出数学交流、问题解决、数学推理、数学联系、数学表征五大数学能力。［7］（P55-68）2010年，《美国共同核心州数学标准》（Common Core State Standards for Mathematics，简称CCSSM）中将其扩充为八大数学能力，即理解并解决问题、推理、论证并评价他人推理、数学建模、使用合适的工具、精确化、探求并利用数学结构以及探求规律。［8］澳大利亚与其他国家不同，并非直接提出数学能力，而是结合数学、科学、英语等学科共同提出七大能力，然后再从数学学科对其进行阐释。［9］

从个人层面来看，各国学者也在探讨数学能力的构成。克鲁切茨基的数学能力构成对学者们的影响较大，尼斯提出“数学能力之花”模型，具体包含数学思维、提出并解决数学问题、数学建模、数学推理、数学表征、数学符号化与形式化、数学交流、工具的使用等数学能力［10］，孙以泽将数学能力分为数学基础能力、数学核心能力、综合性数学能力三大类，其中包含9个数学能力［11］，喻平也将数学能力分为三类，包含自我监控能力、数学阅读能力在内的 11 种数学能力［12］（P296-303），与孙以泽不同的是，在数学能力中添加了数学元能力，这与塞克瑞等在数学能力加入数学元认知、数学记忆等成分是一致的。也有其他学者基于课堂教学对数学能力进行概括，例如，曹一鸣等认为数学学科关键能力包含学习能力、应用能力、创新能力。［13］无论是各国数学课程标准，还是学者们的相关研究，观其构成要素，基本上均含有数学推理、数学交流、问题解决等关键词，研究者与数学课程标准呈现一致性，但是缺少对其进一步详细说明。

（三）数学关键能力的评价研究

国际学生评估项目（Program for International Student Assessment，简称PISA）引起了世界各国教育评价者的注意，PISA测评构建了内容、过程与情境三维一体的测评目标结构，包含了知识、能力、情境三个测评维度。［14］曹一鸣等从学习理解、实践应用、创造迁移三个维度，九个子维度构建了学生数学学科能力测试框架，并对学生进行测评，研究发现学生总体数学能力表现呈递增趋势，但基础能力在高年级出现下滑，不同类别的学校之间存在显著差异。［15］田金婷等基于高考数据，从性别视角对高中生数学能力进行测评，结果发现男生整体数学能力强于女生，但是在数据处理能力、运算求解能力和应用意识上，女生得分明显高于男生。［16］除此之外，还有一些学者关注某一个数学能力的测评，例如，杜宵丰等从了解、理解、掌握、运用四个层次，对八年级学生图形与几何进行测评。［17］张晋宇等对数学表征与变换能力测评指标进行综述，得出再现水平、联系水平、反思水平三个测量水平，并对其具体行为进行描述。［18］关于对数学能力的评价，大多数学者的研究受PISA影响较大，测评框架本土化改造还比较缺乏。

（四）数学关键能力的培养研究

关于数学关键能力培养的研究中针对小学数学关键能力的较多，针对高中的较少，黄翔等基于“新课标”首次明确提出从课程内容设计、数学学习基础、问题解决过程、数学学习评价等方面落实数学实践能力的培养［19］，史亚娟等提出数学能力培养的建议，包含全面、准确地认识中小学生数学能力结构，充分发挥模式能力的桥梁作用；精确加工与模糊加工相结合；形式化与非形式化相结合。［20］朱菊花从语言理解、逻辑推理、问题解决三个方面例谈数学能力的培养［21］，刘静祎从教学实践的视角提出丰富教学手段，激发学生学习兴趣；引进开放型问题，引导多种解答；贴合现实，重视实践操作。［22］李颖等通过中德两国高中阶段数学课程标准的比较，提出应注重在数学教学过程中培养学生的批判思维。［23］不同数学关键能力的培养，所采用的策略也应该与之对应，而关于数学关键能力培养策略的研究大体可以分为两类，一类是从宏观角度进行提炼的，大多策略都是笼统概述，缺少一定的针对性，致使一些教学策略在提炼上“束之高阁”，难以落实到课堂教学之中：在阐述上“隔靴搔痒”，缺少一定的操作性。另一类虽然基于具体的数学能力，但是在阐述过程中更像是经验总结，缺少理论提升。

三、高中生数学关键能力研究的展望

（一）厘清高中生数学关键能力的概念关系

关于数学关键能力的构成要素一直是学术界争论的焦点，到底哪些能力可以成为高中生数学关键能力范畴，是需要进一步探究的话题，这直接影响数学关键能力操作性定义的界定及其与相关概念之间的逻辑关系。目前数学教育界对于数学关键能力的概念关系还没有统一的阐述，存在逻辑不清、要素混乱的现象，因此，需要进一步厘清数学关键能力与数学知识、数学学科核心素养、深度学习等概念之间的关系。数学关键能力与数学知识之间的二元对立关系由来已久，随着数学学科核心素养的提及，逐渐将两者融合，这种对立关系也即将削弱，下面又会呈现何种关系，需要探究。还有与数学学科核心素养之间是上位与下位的从属关系？还是两个独立个体的并列关系，需要明确。再有与深度学习的关系，有的学者也提及深度学习可以促进数学关键能力的培养，这二者之间的衔接点在哪里，需要深思。

（二）探究高中生数学关键能力的生成机制

在数学教学过程中，无论是数学知识的习得还是技能的获取，越具体、越详细，就越有利于在教学中实施，然而数学关键能力具有心理倾向，并非全部是外显的，同时不同的数学能力其生成机制又各不相同，而数学关键能力的提升具有延时性与周期性，并非像知识那样可以立竿见影。数学关键能力的生成并不是各个数学能力的简单叠加，而是各种能力相互作用、有机融合的结果，当学生面临数学问题时，数学关键能力会在各个水平、各个要素和各个内容的“交集”处生成，其发展是一个螺旋上升的过程。因此，高中生数学关键能力的生成机制比较复杂，目前，对于其缺乏系统研究，急需探究各个数学关键能力的生成机制，这是指导高中生数学关键能力形成的内在基础，系统地研究数学关键能力的生成机制还有助于认识数学关键能力的特征与凝练相应的培养策略。

（三）编制高中生数学关键能力的测评体系

PISA测评体系在维度凝练、指标构建、题项选取上对于我们研究高中生数学关键能力都具有重要的参考价值，但又不能完全照搬，因为PISA测评是基于素养观的，倾向于数学素养的测评。我国数学教育忽视对数学能力的判断，注重对外在行为的监测，忽视对内心倾向的透视，很难对高中生数学关键能力层面进行科学、合理的测评，难以保证测评结果之合理性与客观性，即使有些测量已经开始关注学生数学关键能力测评框架的构建，在数学教学实践中也具有一定的困难。因此，整体数学关键能力测评体系亟待构建，这直接影响测试题目的选择与设计，尽管出现了一些开放性、探究性的数学问题，但这些题型能够测量学生哪些数学关键能力还缺乏系统的实证研究。除此之外，在测评体系构建时，只有注意与“新课标”的一致性，才能找到学生实然水平与目标之间的差距，以此为切入点，有针对性地分析其影响因素，形成培养策略，确保培养数学关键能力的教学的开展。

（四）探索高中生数学关键能力的培养策略

目前，关于高中生数学关键能力培养策略的研究出现理论与实践相隔离的现象，缺少相互融合的探索，对于影响数学关键能力的教学因素尚未进行深度分析，这导致培养策略针对性与可操作性缺失，难以在数学教学之中加以运用。数学关键能力的提出不能仅仅停留在文本层面，一方面，需要其能够在课程与教学之中落地，在数学关键能力培养策略研究过程中，需要关注数学课程目标、数学课程内容、数学学科本质等方面，从课程理念、教学方法、学习内容、课程评价等要素探索数学关键能力的培养途径，并进行相关的教学案例研究。另一方面，需要彰显“自上而下”的理论引导与“自下而上”的实践支撑，以保证理论与实践相互融合。探索高中生数学关键能力的培养策略是一项复杂而系统的研究，但这将有助于数学关键能力在课堂上的落实，进而推动数学课程的变革。