高中数学“一题多解”浅议

福建省福州高级中学高三六班 梁含之

波利亚说过：掌握数学就意味着善于解题。解题是数学学习中不可或缺的一环，它既是培养知识运用能力的必要途径，也是巩固所学知识的重要手段。作为高中生，我们一方面要善于接受老师的指导，充分借力，另一方面也应在平时的学习过程中积极探索和勤于思考，以期切实掌握一题多解能力并从中获益。以下，笔者针对高中数学的一题多解问题谈一些个人体会，希望对高中同学有所助益。

一、一题多解的内涵及作用

顾名思义，一题多解即指在同一道题的基础上，从多种角度思考，采用多种解题思路，运用不同的方法解答。这要求解题者能够逐层分析题目，对于关键的研究对象进行多角度的观察和分析，进而找到每种角度的切入点和突破点。它能有效地拓宽解题者的解题思路，促进发散性思维水平和灵活解题能力的提高。而由于一题多解中的不同解法往往涉及多个方面的数学思想及数学方法，因此它对于解题者综合运用知识以及灵活解题能力的提高有莫大助力。相信很多同学都有这样的体会：经常进行一题多解的训练，往往会在解题过程中找到更为简便的解法，这正是一题多解能力得到提升的现实表现。下面我们以高中数学中较为典型的多解问题为例对其具体应用进行详细探讨，以期能从中获得若干有益而深刻的启示。

二、例谈一题多解的具体应用

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，试证明x、y、z成等差数列。

思路1：要想证明x、y、z为等差数列，必须求得x-y=y-z，而这一结论只能由已知条件推导得出，所以看到此题时，最直观的想法便是展开已知条件去寻求转换。将（z-x）2-4（x-y）（y-z）展开并整理，不难得到x-y=y-z，即证得x、y、z成等差数列。

思路2：观察已知条件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中，x-y、y-z、z-x三项具有“对称轮换”的特点，那么我们就可以利用此特点采用换元法减少代数式中的字母数量，从而大大简化转换运算。具体可设x-y=a，y-z=b，则易得x-z=a+b，这时已知代数式可转换为(a+b)2-4ab=0，通过推导可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差数列。

思路3：仔细观察代数式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果设z-x=b，x-y=a，y-z=c，则其便呈现出二次方程判别式的形式特点，即b2-4ac，这就提供了利用二次方程判别式相关知识求解的可能。此时，我们进行分类讨论：当x-y=0时，对已知条件推导易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差数列；当x-y不等于0时，关于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判别式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1为方程的一个根，所以方程的两个根均为1，然后利用韦达定理即可顺利求解。

评析：思路1是最容易想到的、常见的思路，虽然稳妥可靠，但不免略显呆板；思路2简洁流畅，换元法的运用十分巧妙，是最优解法；思路3则需要仔细观察和善于迁移才容易想到，其引入二次方程判别式的方法技巧性较强，带来的启示值得重视并细细体会。

例2：已知a2+b2=1，x2+y2=1，求证ax+by≤1。

思路1：综合运用不等式的相关性质即公式、定理，通过推理和运算最终证明命题成立。就此题而言，平均值不等式的运用十分关键，其简证过程如下：因为ax≤所以ax+by≤

思路2：利用三角换元法证明。观察已知条件的形式，两数平方和等于 1，所以可设a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ，得到ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤ 1。

思路3：此题还可以运用数形结合法来证明。在一个坐标系中，x2+y2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=联系到点到直线距离公式，圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离均小于或等于圆的半径1，即d==|ax+by|≤1，所以ax+by≤1。

评析：以上三种证明方法均属于较为典型的基本方法。需要注意的是，思路3的应用有其适用条件，带有一定的局限性，在实际应用过程中，我们要根据题目具体情况灵活使用。

综上，笔者结合自身学习实践，就高中数学一题多解提出了一些个人看法。总之，一题多解是高中数学学习中必须具备的重要能力，我们应在平时学习中勤于思考并善于总结反思。本文抛砖引玉，尚盼有识者指教。