山东省青岛市城阳第三高级中学 李朝磊
构造法是一种简便的解题方法,但其对学生的数学水平及综合素质要求较高,因此,教学实践中,教师应结合不同题型讲解构造法的具体应用,使学生明晰构造法的应用步骤,把握应用构造法解题的重点与难点,迅速正确解答相关数学题目。
学生对方程知识较为熟悉,在解答一些数学试题时,通过分析题干条件,构造方程求解可获得事半功倍的解题效果,因此,教学实践中,教师应有针对性地对学生加以引导,提高学生应用构造方程解题的意识,培养学生应用构造方程的习惯,促进学生数学解题能力的进一步提高。
例1 已知α+β+γ=π,试证明:
(1)sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα=sin2α;
(2)cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα=sin2α。
分析:该题目已知条件较少,部分学生应用三角函数知识进行变换,虽然能够得出证明结果,但计算过程烦琐,出错率较高,如构造方程,可明显降低证明复杂度,具体解题过程为:
证明:设x=sin2β+sin2γ-2sinβsinγcosα-sin2α①
y=cos2β+cos2γ+2cosβcosγcosα-sin2α②
① + ② 得:x+y=2+2cosαcos(β+γ)-2sin2α=2(1-sin2α)+2cosαcos(π-α)=2cos2α-2cos2α=0。
同理,② - ①得:y-x=cos2β+cos2γ+2cosαcos(β-γ)=-2cosαcos(β-γ)+2cosαcos(β-γ)=0。
构造方程解答数学题目的技巧性较强,教学实践中,教师除了讲解相关题目外,还应对学生多加训练,鼓励学生总结构造方程的适用条件、解题规律,确保构造的方程科学、合理。
众所周知,高中数学试题复杂多变,难度相差较大,部分题目无从下手时,可考虑适当的构造函数,利用函数图形、性质进行求解。实践表明,构造函数可迅速找到解题突破口,迅速得出正确结果,因此,教学实践中,教师应注重讲解构造函数在解题中的具体应用。
例2 已知关于x的方程x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2=0有唯一实数解,求实数a的所有取值。
分析:该方程为二次方程,但存在特殊的参数,很多学生面对该题目时不知如何下手。事实上,认真观察给出的方程,通过构造函数,便可“柳暗花明”。教学实践中,教师可详细列出解题过程,要求学生认真思考,感受构造函数法的具体应用,以更好地应用到其他题目解答中。
解:构造函数f(x)=x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2,
∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数。
设x0为f(x)=0的解,则-x0也为f(x)=0的解。
由题干可知f(x)=0有唯一的实数解,即-x0=x0,显然,x0=0。
通过该例题讲解,学生可充分感受到构造函数在解答数学题目中的便捷、巧妙之处,因此,教学实践中,教师应深入讲解函数知识,使学生夯实函数知识,为构造函数法的灵活应用做好铺垫。
解答数学题目时,通过构造相关图形,将参数间的关系通过图形直观地加以呈现,不仅有助于提高解题效率,而且还可加深学生对数学题目的深入理解,因此,教学实践中,教师应引导学生认真分析题干已知条件,找到已知条件与图形的契合点,学会运用图形解答数学试题。
例3 已知a>0,b>0,a+b=1,
分析:面对该题目,很多学生不知所措,甚至教师提示使用构造图形进行证明时,仍找不到解题突破口。因此,解答该题目时,教师做好充分的引导显得尤为重要,即要求学生认真观察给出的已知条件以及要证明的结论,找到条件和结论间的联系。由已知条件可知a+b=1,不难联想到=2,如此便和结论联系在了一起。具体解题过程为:
由平方和可以联想到勾股定理,即构造如右图的三角形:
构造图形是数形结合法的具体体现,解答数学题目时,过程简明、清晰,计算简单,较传统方法优势明显,因此,解答数学题目时,教师应引导学生学会联想,构造熟悉的数学图形辅助解题。
为提高学生的数学解题能力,掌握正确的解题方法尤为关键,其中构造法是一种重要的解题方法,在解答高中数学试题中应用普遍,因此,教学实践中,广大教师应提高认识,注重构造法知识的讲解,尤其是依托具体案例,讲解构造法在解题中的具体应用,包括构造方程、构造函数、构造图形等,使学生掌握构造法的应用技巧,巧妙解答相关数学试题。